均匀分布和指数分布脚本.doc

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1、均匀分布和指数分布脚本这节课，我们学习两个重要的，又是常用的连续型随机变量分布，它们是：均匀分布和指数分布。【出现第1张PPT】先来看第一个分布——均匀分布。来看定义：如果连续型随机变量X的概率密度小f(x)是这样的：当a

2、可以由它的概率密度推出，是这样一个分段函数。当x小于a时，它等于0；当x大于等于a，小于b时，等于x-a/b-a；x大于等于b时，它等于1。由均匀分布的概率密度推出这个分布函数的过程，不算复杂，希望你能够自行推出。我们容易画出这个分布函数的图像，可以看到均匀分布的分布函数，是一个定义在整个实轴上的连续函数。现在请你思考一下：均匀分布的均匀性体现在哪里？可以不可以说，均匀性体现在，它取每一点的概率值都相同呢？当然不行。因为连续型随机变量取每一点的概率都等于0，这显然不能作为均匀性的体现。事实上，对于连续型随机变量，我们关注它取一点的概率说明不了问题，我们应该

3、关注的是，它在某个区间上取值的概率。由分布函数，我们不难得知，X落在区间[a，b]上的任意小区间内的概率，与这个小区间的长度成正比，因而落在等长小区间上的概率都是相等的。这就是均匀分布的均匀性的真正含义。【第3张PPT】均匀分布的应用很广泛，如：四舍五入的舍入误差服从均匀分布，如果只保留整数，那么，舍入误差服从区间-0.5到0.5的均匀分布。假定班车每隔10分钟发出一辆，乘客随机到达车站，侯车时间服从区间0到10上的均匀分布。某人在指定时间段内随机到达某一地点，他到达的时间，也服从指定时间区间内的均匀分布。下面来看一个例子。若随机变量T服从区间1到6的均匀

4、分布，求方程“x的平方加Tx加1等于0”有实根的概率。解，因为随机变量T服从区间1到6的均匀分布，所以T的概率密度是：当1

5、义。如果随机变量X的概率密度小f(x)是这样的：当x大于0的时侯，它等于λ乘上e的-(xλ)次幂；当x小于等于0的时侯，它等于0。那么，我们就称，随机变量X服从参数为λ的指数分布，记为X服从E(λ)。这里的E是Exp的首字母，而Exp是指数分布的英文缩写。容易画出指数分布的概率密度图形。它显然是定义在整个实轴上的不连续的分段函数。由指数分布的概率密度，不难推出指数分布的分布函数，它是定义在整个实轴上的连续函数。这个工作留给大家作为练习。【第5张PPT】指数分布常用来刻画取非负实数的随机变量，常常用作各种“寿命”分布的近似分布。例如，电子元器件的寿命，随机服

6、务系统中的服务时间，等等。来看下面两个例子。例2，设客户在某银行的窗口等待服务的时间X服从指数分布,X的概率密度是这样的，当x大于0时，它等于1/5乘上e的-(x/5)次幂，其它地方等于0。他在窗口等待服务,若等待时间超过10分钟，他就离开。求他每次未等到服务而离开的概率。来看解题过程。因为等待时间超过10分钟，他就离开，所以，他每次没有等到服务而离开的概率，可以表示为X大于10的概率。它等于：从10到+∞，对概率密度函数求积分，也就是对1/5乘上e的-(x/5)次幂，作积分。积分的原函数是负的e的-(x/5)次幂，+∞代入，极限等于0，再减去10代进去的

7、结果，就是e的-2次方。【第6张PPT】最后来看例3，假定自动取款机对每位顾客的服务时间服从λ=1/3的指数分布，如果有一顾客恰好在你前面走到空闲的取款机，求你等待时间在3分钟到6分钟之间的概率。我们以X表示系统对这位顾客的服务时间，那么X服从参数为1/3的指数分布。系统为你前面这位顾客的服务时间，也就是你等待的时间，也就是说，你等待的时间也服从参数为1/3的指数分布。我们把X的概率密度先写出来，它是这样一个分段函数。(…)你等待3到6分钟的概率，等于从3到6对概率密度求积分，原函数是：负的e的-(x/3)次幂，把6和3分别代入，相减。最后积分的结果是：e

8、的-1次方，减去e的-2次方，最后等于0.233。下面来看这样一个