教学内容结构.doc

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1、教学内容结构复变函数与积分变换课程主要讲授复数与复变函数，解析函数，复变函数的积分，解析函数的级数表示法，留数理论及其应用，共形映射，解析函数在平面场的应用，傅里叶变换与拉普拉斯变换。通过课程教学要使学生初步掌握解析函数、复积分、级数、留数、保形映射、傅里叶变换与拉普拉斯变换等基本概念和基本计算方法，培养学生初步运用复变函数与积分变换理论分析问题、解决问题的能力。1. 复数与复变函数 明确复数、区域、单连通区域、多连通区域、逐段光滑曲线、无穷远点、扩充复平面等概念。 知道复数的性质，平面点集的定理，极限运算及连续函数的基本

2、性质。 掌握复数的计算，会应用模和辐角的性质，会作点集的图形，掌握一些简单函数的变换性质。 进一步认识复数域的结构。了解复数在几何中的应用。 重点：用复数的各种表示法进行运算。辨析实函与复函概念的异同难点：复数的辐角，多值函数，复函的几何意义的应用。 1.1复数：复数的概念及表示；复数的运算；复数在几何上的应用。 1.2复数的三角表示法：复数的模与辐角；复数的三角表示；复数的乘方与开方。 1.3平面点集的一般概念：开集与闭集；平面曲线。 1.4无穷大与复球面：无穷远点；复球面。 1.5复变函数：概念；极限；连续。2. 解析

3、函数 理解导数、解析函数、柯西—黎曼方程、各类基本初等函数的概念。 掌握解析函数的定义和等价刻画。知道基本初等函数的解析性，理解根式函数和对数函数的单值解析分支。 掌握函数的可导性和解析性的充要和充分条件，熟练求各阶导数。 重点：复变函数可导与解析的判别法，柯西—黎曼方程，求导公式。 难点：对数函数与幂函数。 2.1解析函数的概念：复变函数的导数；解析函数的概念与求导法则；解析函数的充分必要条件。 2.2解析函数和调和函数的关系：调和函数的概念；共轭调和函数。2.3初等函数：指数函数；对数函数；幂函数；三角函数；双曲函数.

4、3. 复变函数的积分 理解复积分的概念，掌握复积分的计算。 掌握柯西积分定理，柯西积分定理的推广，复围线柯西积分定理。了解柯西积分定理的古莎证明。 掌握柯西积分公式，解析函数平均值定理，解析函数无穷可微性及其理论。会利用柯西积分公式及复围线柯西积分定理计算围线积分。 理解调和函数、共轭调和函数的概念。掌握解析函数与调和函数的关系，会求已知实部或虚部的解析函数。 重点：柯西积分定理及其推广，柯西积分公式，高阶导数公式。 难点：已知解析函数的实部或虚部求解析函数。 3.1复积分的概念：复积分的定义与计算、复积分的基本性质。3.

5、2柯西积分定理：定理的证明、推广、应用。3.3柯西积分公式：公式及其应用。3.4解析函数的高阶导数：刘维尔定理。 4. 解析函数的级数表示 知道复变函数项级数、幂级数、泰勒展式、洛朗级数、收敛半径、收敛圆的概念。 了解复函数项级数和函数的连续性，逐项积分性质和解析性。掌握幂级数和的解析性，会求幂级数的收敛半径和收敛圆。 理解泰勒定理及其证明，知道幂级数的和函数在收敛圆周上的状况。会求一些初等函数的泰勒展式。 知道解析函数零点的概念。理解解析函数零点的孤立性定理，唯一性定理和最大模原理，并会利用它们证明一些命题。 重点：幂级

6、数；泰勒定理；洛朗定理。 难点：求具体函数的泰勒展式；洛朗级数。 4.1复数项级数：复数序列的极限；复数项级数；条件与绝对收敛。 4.2复变函数项级数：幂级数：幂级数的敛散性；收敛半径的求法；幂级数和的解析性。4.3泰勒级数：泰勒定理；一些初等函数的泰勒展式。4.4洛朗级数：洛朗定理；函数的洛朗级数展开式。5. 留数及其应用 理解留数概念，理解留数定理及证明，会求孤立奇点的留数，会利用留数定理计算围线积分。 掌握利用留数定理计算实积分的四种类型。 了解辐角原理和儒歇定理及其应用。重点：留数定理，留数计算及应用。 难点：留数

7、定理及证明。 5.1孤立奇点：孤立奇算点的分类；函数零点与极点的关系。5.2留数：留数的概念；留数定理。 5.3留数在定积分计算上的应用：围道积分方法；5.4对数留数与辐角原理：对数留数；辐角原理；儒歇定理。6. 共形映射 理解导数的几何意义及保形变换、分式线性变换、保交比性、保圆性、保对称点性等概念，掌握它们的性质及应用。 理解黎曼存在定理和边界对用定理。 熟练掌握分式线性映射及其性质。重点：共形映射，分式线性映射。 难点：确定一些区域之间的初等变换所构成的映射。 6.1共形映射的概念：导数的几何意义；共形映射。 6.2

8、共形映射的基本问题：解析函数的保域性与边界对应原理；共形映射的存在唯一性。 6.3分式线性映射：分式线性函数的分解；分式线性映射的保圆性。 6.4几个初等函数构成的共形映射：幂函数；指数函数。7.解析函数在平面场的应用正确理解复变函数表示平面向量场和复势的基本概念、，理解复势在流体力学、热流场、静电场中