2017浙江高考空间向量与立体几何练习.doc

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1、空间向量与立体几何两年高考真题演练1．如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB＝1，AC＝AA1＝2，AD＝CD＝，且点M和N分别为B1C和D1D的中点．(1)求证：MN∥平面ABCD；(2)求二面角D1－AC－B1的正弦值；(3)设E为棱A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，求线段A1E的长．2.《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P－ABCD中，侧棱PD⊥底面AB

2、CD，且PD＝CD，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连接DE、DF、BD、BE.(1)证明：PB⊥平面DEF.试判断四面体DBEF是否为鳖臑．若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，说明理由；(2)若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，求的值．3．如图，四棱锥P－ABCD中，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD.(1)求证：AB⊥PD；(2)若∠BPC＝90°，PB＝，PC＝2，问AB为何值时，四棱锥P－ABCD的体积最大？并求此时平面PBC与平面DPC夹角的余弦值．考点25　空间向量与立体

3、几何一年模拟试题精练1．已知等边三角形PAB的边长为2，四边形ABCD为矩形，AD＝4，平面PAB⊥平面ABCD，E，F，G分别是线段AB，CD，PD上的点．(1)如图(1)，若G为线段PD的中点，BE＝DF＝，证明：PB∥平面EFG；(2)如图(2)，若E,F分别为线段AB，CD的中点，DG＝2GP，试问：矩形ABCD内(包括边界)能否找到点H，使之同时满足下列两个条件，并说明理由．(ⅰ)点H到点F的距离与点H到直线AB的距离之差大于4；(ⅱ)GH⊥PD.2．如图，将长为4，宽为1的长方形折叠成长方体ABCD－A1B1

4、C1D1的四个侧面，记底面上一边AB＝t，(0

5、ABC中，∠ABC＝90°，D、E分别为线段AB、AC的中点，AB＝4，BC＝2.以DE为折痕，将Rt△ADE折起到图2的位置，使平面A′DE⊥平面DBCE，连接A′C，A′B，设F是线段A′C上的动点，满足＝λ.(1)证明：平面FBE⊥平面A′DC；(2)若二面角F－BE－C的大小为45°，求λ的值．空间向量与立体几何【两年高考真题演练】1.如图，以A为原点建立空间直角坐标系，依题意可得A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(2，0，0)，D(1，－2，0)，A1(0，0，2)，B1(0，1，2)，C1(2，0，2)，

6、D1(1，－2，2)，又因为M，N分别为B1C和D1D的中点，得M，N(1，－2，1)．(1)证明　依题意，可得n＝(0，0，1)为平面ABCD的一个法向量，＝，由此可得·n＝0，又因为直线MN⊄平面ABCD，所以MN∥平面ABCD.(2)解　＝(1，－2，2)，＝(2，0，0)，设n1＝(x，y，z)为平面ACD1的法向量，则即不妨设z＝1，可得n1＝(0，1，1)．设n2＝(x，y，z)为平面ACB1的法向量，则又＝(0，1，2)，得不妨设z＝1，可得n2＝(0，－2，1)．因此有cos〈n1，n2〉＝＝－，于是si

7、n〈n1，n2〉＝.所以，二面角D1－AC－B1的正弦值为.(3)依题意，可设＝λ，其中λ∈[0，1]，则E(0，λ，2)，从而＝(－1，λ＋2，1)，又n＝(0，0，1)为平面ABCD的一个法向量，由已知，得cos〈，n〉＝＝＝，整理得λ2＋4λ－3＝0，又因为λ∈[0，1]，解得λ＝－2，所以，线段A1E的长为－2.2．解　法一　(1)因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，由底面ABCD为长方形，有BC⊥CD，而PD∩CD＝D，所以BC⊥平面PCD.而DE⊂平面PCD，所以BC⊥DE.又因为PD＝CD，点E是PC的

8、中点，所以DE⊥PC.而PC∩BC＝C，所以DE⊥平面PBC.而PB⊂平面PBC，所以PB⊥DE.又PB⊥EF，DE∩EF＝E，所以PB⊥平面DEF.由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB.