函数基本性质对称性、周期性.doc

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1、函数的基本性质(对称性、周期性)1、周期性：对于函数，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有都成立，那么就把函数叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期.2、对称性：（1）轴对称函数关于对称注意：也可以写成或简证：设点在上，通过可知，，即点上，而点与点关于x=a对称.得证.若写成：，函数关于直线对称.（2）点对称函数关于点对称或简证：设点在上，即，通过可知，，所以，所以点也在上，而点与关于对称.得证.若写成：，函数关于点

2、对称.3、周期性（1）如果满足，则是周期的周期函数.（2）如果满足，则是周期的周期函数.（3）如果满足，或，则是周期的周期函数.（4）若函数在R上满足，且（其中），则函数以为周期.（5）若函数在R上满足，且（其中），则函数以为周期.（6）若函数在R上满足，且（其中），则函数以为周期.4、例题讲解例1、已知定义为R的函数满足，且函数在区间上单调递增.如果，且，则的值（）A.恒小于0B.恒大于0C．可能为0D．可正可负例2、在R上定义的函数是偶函数，且.若在区间上是减函数，则()A.在区间上是增函数，在区间上是增函数B.在区间

3、上是增函数，在区间上是减函数C.在区间上是减函数，在区间上是增函数D.在区间上是减函数，在区间上是减函数例3、已知，，，…，，则（）.A.B.C.D.3例4、已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是（）A.0B.C.1D.例5、定义域为R，且对任意都有，若则=________例6、已知函数f(x)的定义域为N，且对任意正整数x，都有f(x)＝f(x－1)＋f(x＋1)若f(0)＝2004，求f(2004).例7、已知对于任意a，b∈R，有f(a＋b)＋f(a－b)＝2f(a)f(b)，且f(x

4、)≠0⑴求证：f(x)是偶函数；⑵若存在正整数m使得f(m)＝0，求满足f(x＋T)＝f(x)的一个T值(T≠0).例8、已知f(x)是R上的奇函数，且,则f(1)+f(2)+f(3)=_______.例9、设奇函数y=f(x)的定义域为R，f(1)=2，且对任意，都有当x＞0时，f(x)是增函数，则函数在区间[-3，-2]上的最大值是____.例10、设是定义在区间上且以2为周期的函数，对，用表示区间已知当时，，求在上的解析式.例11、设定义在R上的偶函数满足，且当时为增函数，若.求证:当时，为减函数.例12、设函数定义

5、于上，且函数不恒为零，，若对于任意实数、，恒有：求证：①②③变式、设函数定义于上，函数不恒为零，且对于任意实数、，有求证：.