周期性对称性+幂函数图像与性质.doc

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1、自强不息厚德载物授课类型T周期性与对称性C幂函数图像T幂函数性质教学内容周期性1、周期函数的定义一般地，对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有，那么函数就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的一个周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。显然，若T是函数的周期，则也是的周期。如无特别说明，我们后面一般所说的周期是指函数的最小正周期。说明：1、周期函数定义域必是无界的。2、周期函数不一定都有最小正周期。推广：若，则是周期函数，是它的一个周期；，则周期为T；的周期为的周期为。2、常见周期函数的函数方程：（1）函数值之和定值型，

2、即函数对于定义域中任意满足，则有，故函数的周期是特例：，则是以为周期的周期函数；（2）两个函数值之积定值型，即倒数或负倒数型12/12自强不息厚德载物若，则得，所以函数的周期是（3）分式型，即函数满足由得，进而得，由前面的结论得的周期是（4）递推型：（或），则的周期T=6a（联系数列）,则的周期T=5a；其中，则是以为周期的周期函数。3、函数的对称性与周期性之间的联系：双对称性函数的周期性具有多重对称性的函数必具有周期性。即，如果一个函数有两条对称轴（或一条对称轴和一个对称中心、或两个纵坐标相同的对称中心），则该函数必为周期函数。相关结论如下：结论1：两线对称型：如果定义在上的函数有两条对

3、称轴、，即，且，那么是周期函数，其中一个周期结论2：两点对称型：如果函数同时关于两点、（）成中心对称，即和，那么是周期函数，其中一个周期结论3：一线一点对称型：如果函数的图像关于点（）成中心对称，且关于直线（）成轴对称，那么是周期函数，其中一个周期12/12自强不息厚德载物例1、定义域为的函数满足，且为偶函数，则（）（A）是周期为4的周期函数（B）是周期为8的周期函数（C）是周期为12的周期函数（D）不是周期函数 例2、定义在上的函数，给出下列四个命题：（1）若是偶函数，则的图象关于直线对称（2）若则的图象关于点对称（3）若=，且，则的一个周期为2。（4）与的图象关于直线对称。其中正确命题

4、的序号为。对称性一、对称性的概念及常见函数的对称性1、对称性的概念①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。二、抽象函数的对称性1、函数图象本身的对称性（自对称问题）（1）轴对称①的图象关于直线对称②的图象关于直线对称.12/12自强不息厚德载物特别地，函数的图像关于轴对称的充要条件是.（2）中心对称①的图象关于点对称。②的图象关于点对称.特别地，函数的图

5、像关于原点对称的充要条件是.（3）对称性与周期性之间的联系①若函数既关于直线对称，又关于直线对称，则函数关于无数条直线对称，相邻对称轴的距离为；且函数为周期函数，周期；特别地：若是偶函数，其图像又关于直线对称，则是周期为的周期函数；②若函数既关于点对称，又关于点对称，则函数关于无数个点对称，相邻对称中心的距离为；且函数为周期函数，周期；③若函数既关于直线对称，又关于点对称，则函数关于无数个点和直线对称，相邻对称轴和中心的距离为，相邻对称轴或中心的距离为；且函数为周期函数，周期。特别地：若是奇函数，其图像又关于直线对称，则是周期为的周期函数。1.已知函数定义域为，且对于任意实数满足，当时，，

6、则.2.已知函数（），给出下列四个命题：①当且仅当时，是偶函数；②函数一定存在零点；③函数在区间上单调递减；④当时，函数的最小值为．那么所有真命题的序号是．12/12自强不息厚德载物幂函数的图像与性质【知识梳理】　　1幂函数的定义：形如的函数称为幂函数(为常数,)．2常用幂函数性质及其图像定义域值域奇偶性单调性定点3性质如下：（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限

7、地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．【典型例题分析】【例1】有下列函数：，其中哪些为幂函数？12/12自强不息厚德载物变式练习：幂函数的图像经过点，幂函数，则下列四个函数，中，是幂函数的是_____________________【例2】求函数的定义域。【例3】若的图像与坐标轴没有公共点，且关于轴对称，求的表达式。变式练习1：函数是幂函数，求实数m的值。变式练习2：幂函数的大致图像是如图所示的（）再