幂函数图像与性质

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1、幂函数的图像与性质　　教学目的　　通过对幂函数几种不同情况图像的观察、分析，掌握幂函数图像的特征，进一步掌握幂函数的性质，提高观察和分析的能力．　　教学过程　一、学生练习　　在同一坐标系中画出下列幂函数的图像：　　　　(提醒学生：画坐标系时，单位长度要取大一些．)　　在学生练习的同时，教师在黑板上画出上述幂函数的图像，如图1所示(用不同颜色表示各函数的图像)．　　并让学生通过观察来思考下列几个问题．　　(通过教师和学生之间的对话来进行．)　　(1)你画出的这几个函数图像中，有没有经过第四象限的？在我们研究的所有幂函数

2、中，是否存在某个函数，它的图像经过第四象限？学生能正确回答．因为对于一切幂函数，当x＞0时，总有y＞0．　　分为三类？(ii)如果能，那么属于同一类函数的幂指数，有什么共同点？　　(学生议论，教师引导、归纳小结．)　　y≥0，　　有y≥0，对于x＜0，则当q为奇数时，有y＜0；当q为偶数时，有y＞0．所以，当p为奇数，q为奇数时，图像经过一、三两个象限；当p为奇数，q为偶数时，图像经过一、二两个象限．　　　　　　0＜x＜1时，图像在y=x的下方；当x＞1时，图像在y=x的上方．并且能进一步发现，所画出的几个函数图像，

3、它们之间的位置关系因幂指数的大小不同，按一定的规律排列，其中任意一个函数的图像总是夹在一个较小幂指数和一个较大幂指数的两个函　　由对几个特殊例子的观察所得到的上述想法，能否作为普遍的规律存在呢？　　(引导学生根据幂的概念和同底数幂大小比较的办法，得到肯定的结论．)　　　　　　　　(ii)图像按经过的象限可归纳为三类：当n的分子是奇数，而分母是偶数时，图像只经过第一象限；当n的分子、分母都是奇数时，图像经过一、三两个象限；当n的分子是偶数，而分母是奇数时，图像经过一、二两个象限．　　[将幂函数(n≥1)的上述特征预先写

4、在小黑板上或使用投影仪．]　二、提出新问题　　　　　否具有类似的特征？　　为了研究这个问题，现提供三种方法，供同学们参考．　　(1)模仿前面对n≥1的幂函数图像的研究方法．　　(2)类比n≥1时的幂函数图像的特征，大胆猜测，并加验证．　　(3)用直接推理的办法得出结论．　　(教师巡视，引导和帮助学生解决问题．)　　教师在巡视中发现：　　多数学生用第二种方法，他们认为，不论n≥1，还是0＜n＜1，共同特点是n＞0，且在0＜n＜1的有理数n中，同样有分子、分母分别为奇数和偶数三种组合情况，可以说，在0＜n＜1时的幂函数与

5、n≥1时的幂函数有类似的情况，因而它们的图像有可能存在某些共同的特征．经验证，这个猜想是正确的．由此得到，当0＜n＜1时，幂　　在y=x的下方．　　0，且小于1．经过观察和推测得到与上述相同的结论．　　　　(x＞0)互为反函数．它们的图像关于y=x对称．而且在分母为奇数的情况下，当分子为奇数，幂函数本身的图像关于原点对称；当分子为偶数，幂函数本身的图像关于y轴对称．这些学生超前学习，知识丰富，能力较强，能很快推证出结论．　　由于不同层次的学生解决问题所需时间有多少，容易造成课堂气氛松弛的现象．显然，用第二、第三种方法

6、来研究问题，难度较大，对学生水平要求高，但解决问题花的时间少．而使用第一种方法研究问题的学生，研究过程有法可效，但花的时间要长一些．此时，课堂上会出现一部分学生没事做，使课堂教学不能同步进行．对此，可采取如下措施：一方面教师帮助较差的学生解决问题，另一方面在部分学生已经得到正确结论的基础上，向他们提出一个新问题：从上面的研究结果中，你能归纳出当n＞0时幂函数的图像有哪些共同的性质？这样，使班级中不同的学生在不同的层次上得到不同程度的能力训练，同时也为下一教学过程的实施做了一些准备．　三、总结　　　　　(教师、学生一起

7、进行归纳整理，并由教师在黑板上板书．)　　(1)图像所在的区域：在图2有“红”、“蓝”字的范围内，且可归纳为下列三种情况：　　(2)图像都通过点(0，0)、(1，1)．当n的分子、分母都为奇数时，其幂函数图像又都通过点(－1，－1)；当n的分子为偶数，分母为奇数时，其幂函数的图像又都通过点(－1，1)．　　(3)图像的变化情况：在第一、三象限内，函数值随x的增大而增大；在第二象限内，函数值随x的增大而减小．　　(4)图像的位置关系：画出的图像，它在坐标系中的位置按幂指数的大小依一定的规律排列．如图3．　四、结束语　　

8、　　　像和一些性质．希望同学们能注意函数图像及其性质的研究方法，并逐步掌握它，便于今后学习和研究其他的函数．　五、作业　　　课本练习：略．　　思考题：　　　　它们有哪些共同和不同之处．　六、板书设计　　　自我评述　　这堂课的总体设计图式如下：　　上述设计是从以下几个方面考虑的：　　y=xn，的两条性质；(i)图像都通过(0,0)，(1,1)；(