菲涅耳衍射夫琅和费衍射和傅立叶变换.doc

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1、第四章菲涅耳衍射、夫琅和费衍射和傅立叶变换利用基尔霍夫或瑞利-索末菲衍射公式计算衍射光场复振幅分布虽然准确，但是在计算积分时存在数学上的困难。在一定条件下对瑞利-索末菲衍射公式进行近似，便可以将衍射现象划分为两种类型——菲涅耳衍射和夫琅和费衍射，也称近场衍射与远场衍射。§4-1菲涅耳衍射夫琅和费衍射的划分先简单分析一下单色光经过衍射小孔后的衍射现象。下图表示一个单色平面波垂直照射到圆孔Σ上（圆孔直径大于波长）的情形。若在离Σ很近的K1处观察透过的光，将看到边缘比较锐利的光斑，其形状、大小和圆孔基本相同，可看作是圆孔的投影。这时光的传播可看作是直线进行的。若距离再

2、远些，例如在K2处，将看到一个边缘模糊的略大的圆光斑，光斑内有一圈圈的亮暗环，这时光斑已不能看作是圆孔的投影了。随着距离的增大，光斑范围将不断扩大，但光斑中圆环数目则逐渐减小（如K3处的情况），而且环纹中心的明暗也表现为交替出现。当观察平面距离很远时，如在K4处，将看到一个较大的中间亮，边缘暗，且在边缘外有较弱的亮暗交替的光斑。此后观察距离再增大时，只是光斑扩大，但光斑形状不变。通常菲涅耳衍射指近场衍射，夫琅和费衍射指远场衍射。下面我们根据瑞利-索末菲衍射公式来讨论远和近的范围是怎样划分的。考虑无限大的不透明屏上的一个有限孔径Σ对单色光的衍射。设平面屏有直角坐标

3、系(x1，y1)，在平面观察区域有坐标系(x，y)，两者坐标平行，相距z。一、菲涅耳衍射（近场衍射）在第三章里我们已经得到开孔的瑞利-索末菲衍射公式是在图所示的坐标系下，上式可以写为假设观察屏和衍射屏的距离z远远大于Σ的线度和观察范围的线度，那么在z轴附近又的情况下，忽略二阶以上小量，有所以这一近场近似公式称为菲涅耳衍射公式。使以上近似成立的观察区称菲涅耳衍射区。使菲涅耳衍射公式成立的条件是即一、夫琅和费衍射（远场衍射）菲涅耳衍射公式是如果我们的观察区域远远大于衍射孔线度，即，那么上式又可进一步近似为这样我们对菲涅耳衍射公式的进一步近似称远场近似，得到的衍射公式

4、称为夫琅和费衍射公式，这一积分公式相对菲涅耳衍射公式在数学上又简单了一些。对应的衍射区域称夫琅和费衍射区。容易看出，满足夫琅和费衍射的条件是即这是一个很强的条件，比如当λ=600nm，孔径为直径2mm时，要观察夫琅和费衍射，观察位置必须在远远大于1666mm的地方。实际中，往往用，即来确定出现夫琅和费衍射的位置。§4-2几种典型的夫琅和费衍射在无限远处观察的衍射是严格的夫琅和费衍射，用一正透镜在后焦面上观察的衍射就是这种情况。夫琅和费衍射在分析光学仪器的极限分辨本领时有着重要的意义。夫琅和费衍射计算较为简单，同时它与傅立叶变换有着直接的联系，为此我们有必要进行专

5、门的讨论。我们已经得到夫琅和费衍射公式是如果令，并根据傅立叶变换的定义，则所以观察屏上的光强分布可以看出，观察屏上的衍射花样形状主要由决定。下面利用分析几种典型的夫琅和费衍射。一、矩孔的夫琅和费衍射设矩孔的边长分别为Lx，Ly，在单位振幅的平行光垂直照明的情况下，衍射屏后表面的复振幅与屏的透过率函数是相等的，即而所以观察屏上的复振幅为观察屏上的光强分布为一、圆孔的夫琅和费衍射对于圆孔，采用极坐标系。单位振幅的平行光垂直照明的情况下观察屏处的复振幅分布其图形如下观察屏处的强度分布其图形如下可以看出，中央有一强度远远高于其它条纹的亮斑（这一亮斑叫爱里斑），中央亮斑的

6、半径，而D就是光学仪器的相对孔径，D越大，亮斑的半径越小，也就是由于衍射产生的象模糊越小，光学仪器的分辨本领越高。一、正弦型振幅光栅的夫琅和费衍射l×l正方形正弦型振幅光栅的复振幅透过率为方孔内沿x1方向按正弦规律变化，对同一x1值，透过率不因y1变化而变化，光栅的空间频率为f0，m是小于1的正数。正弦型振幅光栅的透过率示意如图。则夫琅和费衍射的复振幅分布为而所以观察面上的复振幅观察面上的光强度分布图形如下注意分析交叉项，使最大的点在，使最大的点在，两者相距。由下图可以看出，随着，（兰线）越来越小，所以可以忽略。所以其图形为可以看出近似后与近似前几乎没有差别。当

7、m不同时，两侧的尖峰幅度发生改变，m越大，两侧的峰越高。如下图。m=0.5m=1当f0改变时，侧峰与中央主峰的距离发生改变。f0越大，距离越大，见图。在x轴上I(x,0)的分布和光强分布如下可以看出，正弦振幅型光栅的衍射只有三级衍射分量。作为分光元件，只有±1分量起作用。由于一级极大的位置在处，其相应的色散。若是按照瑞利判据（一条谱线的极大值与另一条谱线的第一个极小值重合，两条谱线恰好能分辨）能分辨的两个波长差，则因为，，而峰值谱线的底半宽又应满足，所以，所以光栅的分辨本领，M是光栅的总条数。一、正弦型位相光栅的夫琅和费衍射正弦型位相光栅的复振幅透过率函数为用单

8、位振幅平面波照明，则所以