视觉SLAM十四讲-第三讲-三维空间刚体运动.ppt

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1、视觉SLAM十四讲从理论到实践高翔清华大学2016年冬第三讲三维空间刚体运动Chapter3:3DSpaceRigidBodyMotion2第三讲三维空间刚体运动本讲目标理解三维空间的刚体运动描述方式：旋转矩阵、变换矩阵、四元数和欧拉角。掌握Eigen库的矩阵、几何模块使用方法。33.1点、向量和坐标系，旋转矩阵4第三讲三维空间刚体运动点存在于三维空间之中点和点可以组成向量点本身由原点指向它的向量所描述向量带指向性的箭头可以进行加法、减法等运算5第三讲三维空间刚体运动定义坐标系后，向量可以由坐标表示坐

2、标系：由三个正交的轴组成构成线性空间的一组基左手系和右手系6第三讲三维空间刚体运动向量的运算可以由坐标运算来表达加减法内积外积这个定义之后还要用7第三讲三维空间刚体运动目前为止都很平凡但是有一个基本问题：进而：在SLAM中：固定的世界坐标系和移动的机器人坐标系机器人坐标系随着机器人运动而改变，每个时刻都有新的坐标系坐标系之间是如何变化的？如何计算同一个向量在不同坐标系里的坐标？8第三讲三维空间刚体运动两个不同的坐标系如何描述左侧到右侧的变化？直观看来由两个部分组成：原点间的平移三个轴的旋转平移是一个向

3、量旋转是什么？9第三讲三维空间刚体运动旋转设某坐标系发生了一次旋转，变成了对于某个固定的向量（向量不随坐标系旋转），它的坐标怎么变化？坐标关系：10第三讲三维空间刚体运动左乘，得：11第三讲三维空间刚体运动中间的矩阵称为旋转矩阵根据定义可以验证：R是一个正交矩阵；R的行列式为+1。满足这两个性质的矩阵称为旋转矩阵SpecialOrthogonalGroup特殊正交群旋转矩阵描述了两个坐标的变换关系比如：反之：于是：进一步，三个坐标系亦有：12第三讲三维空间刚体运动加上平移：两个坐标系的刚体运动可以由完

4、全描述。13第三讲三维空间刚体运动齐次坐标与变换矩阵用旋转+平移方式有一点不便之处，比如发生了两次变换：这时：叠加起来过于复杂14第三讲三维空间刚体运动改变形式，写成：记那么多次变换就可写成：这种用四个数表达三维向量的做法称为齐次坐标引入齐次坐标后，旋转和平移可以放入同一个矩阵，称为变换矩阵称为特殊欧氏群（SpecialEuclideanGroup）15第三讲三维空间刚体运动类似的，可定义反向的变换：例子在SLAM中，通常定义世界坐标系与机器人坐标系一个点的世界坐标为，机器人坐标系下为，那么满足关系：

5、反之亦然在实际编程中，可使用或来描述机器人的位姿。163.2实践部分：Eigen173.3旋转向量、欧拉角18第三讲三维空间刚体运动除了旋转矩阵之外的旋转表示三维旋转：三自由度，用向量表示方向为旋转轴、长度为转过的角度称为角轴（Angle-Axis）或旋转向量（RotationVector）19第三讲三维空间刚体运动角轴与旋转矩阵的不同旋转矩阵：九个量，有正交性约束和行列式值约束角轴：三个量，没有约束注意它们只是表达方式的不同，但表达的东西可以是同一个角轴也就是第四章要介绍的李代数转换关系轴角转旋转矩

6、阵：罗德里格斯公式（Rodrigues'sFormula）旋转矩阵转轴角角度：轴：20第三讲三维空间刚体运动欧拉角（EulerAngles）将旋转分解为三次不同轴上的转动，以便理解例如：按Z-Y-X顺序转动轴可以是定轴或动轴，顺序亦可不同，因此存在许多种定义方式不同的欧拉角常见的有yaw-pitch-roll（偏航-俯仰-滚转）角等等。绕物体的Z轴旋转，得到偏航角yaw；绕旋转之后的Y轴旋转，得到俯仰角pitch；绕旋转之后的X轴旋转，得到滚转角roll。21第三讲三维空间刚体运动万向锁（Gimbal

7、Lock）ZYX顺序中，若Pitch为正负90度，则第三次旋转和第一次绕同一个轴，使得系统丢失了一个自由度——存在奇异性问题22第三讲三维空间刚体运动由于万向锁，欧拉角不适于插值和迭代，往往只用于人机交互中。可以证明，用三个实数来表达三维旋转时，会不可避免地碰到奇异性问题。SLAM程序中很少直接使用欧拉角表达姿态233.4四元数24第三讲三维空间刚体运动四元数（Quaternion）一种扩展的复数回忆：（单位圆上的）复数可以表达二维平面的旋转四元数有三个虚部，可以表达三维空间中的旋转：虚部之间的关系：

8、自己和自己的运算像复数自己和别人的运算像叉乘25第三讲三维空间刚体运动和复数一样，单位四元数可以表达三维空间的一次旋转四元数的一些运算和性质：加减法乘法乘法共轭模长逆数乘点乘26第三讲三维空间刚体运动四元数和角轴的关系角轴到四元数：四元数到角轴：类似可知四元数亦可转换为旋转矩阵、欧拉角27第三讲三维空间刚体运动如何用四元数旋转一个空间点？设点经过一次以表示的旋转后，得到了，它们关系如何表示？将的坐标用四元数表示（虚四元数）：旋转之后的关系为：四元数相比于