数学教学中类比思想的培养.doc

《数学教学中类比思想的培养.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、数学教学中类比思想的培养牛顿发现了万有引力定律，提出两个物体之间的引力大小与它们质量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比。库仑在研究电荷后想，两静电荷Z间的作用力（库仑力），它的大小符合什么样的规律呢？他根据万有引力定律，大胆猜想，得出了著名的库仑定律：库仑力的大小类似于万有引力，即与电量强度的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比,并通过实验，证实了自己的猜想。库仑在万有引力的基础上，通过类比，得出库仑定律。难怪英国物理学家开普勒感叹道：类比是我最好的老师。可见，类比思想在知识的创新过程屮，起着多么重要的作用。类比就是从一类事物所具有的属性，

2、通过联想，得到另一类事物也具有类似属性的思想方法。通过类比，可以创造新的命题，它是创造性思维的源泉之一。在日常教学中，如何渗透类比思想呢？一、培养学生类比思想的切入点（1）从已知的数学“概念”出发。数学的概念教学，是数学课中很重要的组成部分，但往往被忽视，认为记住概念就可以了。其实，数学概念蕴含着丰富的内涵，有些概念往往可作为培养学生类比思想的好索材。比如：（凸）多边形和（凸）多面体概念。多边形：由三条或三条以上的线段（边）围成的封闭的平面图形。多面体：由四个或四个以上的多边形（面）围成的封闭的几何体。多边形有关的概念：角、边长、顶点、高、面积等。

3、多面体有关的概念：二而角、表而积、顶点、体高、体积等。可以发现：两概念极为相似。因此，平面儿何与立体儿何之间可能存在某些类似性质。要研究这些性质，得先找岀两者之间一些概念的对应关系。可以引导学生，从两者的定义出发，导出两者之间可能存在的类比规律：平面图形由“边”围成，立体图形由“面”围成，显然“边”对应“面”；某一“边长”对应某一面的“面积”;两边构成“角”,两面构成“二面角”,那么“角”对应“二面角”；多边形的“顶点”对应多面体的“顶点”；多边形的“面积”对应多面体的“体积”等等。（篇幅所限，图略）从熟悉的数学概念着手，培养学生类比的思想，既强化

4、概念学习的重要性，又亲身体验了类比规律得出的过程，学生比较容易接受。下面，是类比规律的运用、验证示例。例1:真命题：平面几何中有如下命题：正三角形内（或边上）任意一点到三边的距离之和等于正三角形的高。请运用类比和联想把此命题推广到空间，写出类似的命题并证明是否成立。根据类比规律，可得以下命题：正四面体内（或面上）任意一点到四个血的距离Z和等于正四血体的高。例2：任意AABC中有余弦定理：AB2二BC2+AC2-2BC?AC?cosZACB・类比余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面积之间的关系式并证明。根据类比规律，可得以下命题：S2・AA・C・C二S2

5、・・+S2・・-2S・？S■?COSa（a是二面角A-BB1-C的大小）（2）从数学中一些公式的“形”出发。数学中有很多公式，教师一般比较强调公式的应用，但对于利用有些公式“形”來对学生进行类比思想的培养则比较忽视。而利用公式的“形”培养学生的类比意识，是一种非常肓观，学生比较容易接受的方式。比如等差数列与等比数列的通项公式。等差数列的通项公式:an=al+(n-1)d,an=am+(n-m)d；等比数列的通项公式：an=alqn-l,an=amqn-m(m,nWN*)。可以把公式变形：an二al+d+d+・・・+d?圮(类比)an=alXqXqX

6、•••Xq,an~am=(n-m)d?圮(类比)■二qn-in。学生通过观察、分析上述公式，容易得出两种数列Z间可能存在的类比规律：等比数列d+-0系数类比规律？邺？邺？邺？邺？邺等差数列qX三1指数一些常见的满足上述类比规律公式：①若m、n、k、1?缀N?鄢，且m+n二k+1,在等差数列中am+an=ak+al；在等比数列中aman=akal。②a、b、c成等差数列，则2b=a+c；a>b、c成等比数列，则b2=aco③数列a■为等差数列，前n项的和Sn^nal+Hd；数列a■为等比数列，前n项的积等等。类比规律的运用、验证示例如下。例3：真命题

7、：等差数列a■屮，■二■成立，请把此性质推广到等比数列中，并证明是否成立。根据此等式的特点，利用类比规律容易得出结论：在等比数列a■中,如果an>0,则等式(aHXaH)■=(aHXaHX•••XaH)■成立。例4：&■,&■,…，且■是公差为d的等差数列a■中的任意ni项，若・二p+・，(0?燮r〈in,p、r、in?缀N?鄢)则有等式・■)pp+・d成立。运用类比的思想，把此等式推广到等比数列中。根据此等式的特点，利用类比规律可以得出结论：a・，a・，…，a■是公比为q的等比数列Q■中的任意m项（羽>0）,若・二p+・，（0?燮r〈m,p、r>

8、in?缀N?鄢），则等式：（aHXaHX•••XaH）■二apXq■成立。（3）从某一数学对象所具有的“性质”出发。在同一