新课标背景下数学类比思想的培养.doc

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1、新课标背景下中学数学教学中的类比思想培养概述：当前，就国际中学数学教育的发展趋势来看，数学教学越来越注重学生数学思维能力、探索发现能力和创新思维能力的培养。大数学家高斯就认为，发现和创新比命题论证更重要。因为一旦抓到真理之后，补行证明往往是时间问题。因此新课标在教材体系安排上相对与原教材更加重视概念和知识的生成过程，更加重视学生探索、发现、创新意识及能力的培养。而教学中着力培养学生类比推理能力是发展学生发现和自主创新的有效途径，是新课标所倡导的“合情推理”的重要体现。关键词：类比思想、类比发现、类比探究、构造类比、数形类比、合情推理

2、、数学思想、联想、迁移、相似、知识生成。正文：当前，就国际中学数学教育的发展趋势来看，数学教学越来越注重学生数学思维能力、探索发现能力和创新思维能力的培养。大数学家高斯就认为，发现和创新比命题论证更重要。因为一旦抓到真理之后，补行证明往往是时间问题。因此新课标在教材体系安排上相对与原教材更加重视概念和知识的生成过程，更加重视学生探索、发现、创新意识及能力的培养。而教学中着力培养学生类比推理能力是发展学生发现和自主创新的有效途径。是新课标所倡导的“合情推理”的重要体现。那么，什么是类比，类比的方法有哪些，在中学数学教学中应怎样培养和发

3、展学生的类比思想呢？笔者就此问题浅谈一些看法。一、类比的含义所谓类比，就是依据两个或两类数学对象的相似性进行“联想”，把它们其中一个数学对象已知的、较为熟悉的特殊属性迁移到另一个和它相似的数学对象上去，进而得到新的发现或规律的思想方法。类比思维是一种获得数学发现的重要数学思想，在数学学习和解题中起着至关重要的作用，通过类比可以帮助学生理解和记忆不同层面的类似数学内容，可以诱导寻求解题思路的变迁和发散，也可以获得命题的推广和延伸。总之，类比思想作为一种重要数学思想，它是获取数学发现、拓广数学知识的原动力之一。一、类比方法与技能培养在新

4、课标中学数学教材中，类比原型比比皆是，教学中可通过师生互动，寓学生类比思想及类比能力的培养于课堂教学之中，比如;奇、偶函数的概念；指数函数的概念等的生成过程无不渗透着从特殊到一般的类比思想。又如：等差数列的概念和性质向等比数列的概念和性质的迁移过程，体现了类比合情推理的思想方法。又如：指数函数图像和性质到对数图像和性质的迁移与对比，体现着关系类比的思想方法。再如：“平面内不共线三点确定一个圆”类比到“空间不共面四点确定一个球”体现了低维到高维的类比迁移。等等，不再一一赘述。数学思想是数学内容的升华和结晶。类比作为培养学生发现和创新能

5、力的重要思想方法，在数学解题中有着非常巧妙的应用。下面仅举几例以示说明。例1已知、、，并且。试比较与的大小。分析：如果用代数方法求解则可用作差比较法或分析法，但如果我们认真观察要比较两数的结构特征，不难发现它们均可类比成两点连线的斜率，用几何法求解。xB(-m,-m)A(b,a)y略解：由于是点与点连线的斜率，是点与原点O联线的斜率（图1）由于说明：本例还可把类比成溶液的浓度，图1若再溶入质量为的溶质，浓度变成，浓度增大了，因而。例2实系数方程的两根分别落在区间与内，试求的取值范围。yx分析：本题单纯从方程及其根的联系这个角度来考虑

6、是难以下手的，但若仔细观察题中各式结构容易发现可类比成两点连线的斜率，于是问题的关键就转化为求点的活动区域。略解：令如图2于是有即yx(-1,-4)P(a,b)从而又转化为线性规化问题，图2画出可行域（如图3区域）由图3可看出就是区域内的点与连线的斜率由于=所以图3说明：以上两例，都应用到了结构类比和数形类比的思想方法，而数学的产生和发展是空间形式中“数”与“形”的相互依存、相互促进的结果。数形结合方法是人们认识和研究客观世界的基本思想方法，架设“数”与“形”的思维桥梁。是提高数学解题能力的重要手段之一。解题时，善于挖掘“数”与“形

7、”的关系根据数的几何意义，巧妙的运用数形类比的思想方法和技巧，有效的辅以相应的图形进行求解，不仅能获得一些精巧简捷的解题思路，而且还有益于沟通知识间的联系，提高运用类比联想的灵活性，培养良好的思维品质和能力。例3求证：7个实数中至少有两个数（记作）满足解析：本题若是只着眼于7个实数，可能会感觉到无从下手，若引导学生仔细观察要证式子的结构，很容易使学生把关系式类比成两角差的正切公式。并把7个实数分别看成7个角的正切值，把0和分别看成与，问题就迎刃而解了。设这7个实数为，且，把分成六个区间：，，，，，，显然，这7个角至少有两个角在同一区

8、间内，不妨设这两个角为且则有而令即得要证结论。例4设，比较与的大小。分析：这是一道没有给出结论的开放性题目，除了运用比较法外，若观察结论的结构特征，容易发现=与分别是函数的两个函数值与，因此又可用构造类比法：解：构造函数=易知在上是减