非线性系统线性化综述翻译.doc

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1、非线性系统线性化综述程代展，李志强（屮国科学院数学与系统科学研究院，北京100190）摘要：非线性系统的线性化是设计非线性系统控制的强有力工具。这一方法己经在飞行器控制、电力系统的安全控制、化学反应器控制、经济系统、生物学系统和机器人控制等领域得到广泛应用。本文阐述了非线性系统线性化的发展历史以及有深刻意义的结果。首先回顾从非线性系统的近似线性化到精确线性化的发展。主要内容Poincare线性化、系统能通过状态反馈线性化的充要条件和算法。然后介绍各种不同的线性化方法：动态反馈线性化，近似线性化，Cralema3/1线性化等。本文主耍

2、H的是对非线性系统线性化的历史，现状和一些重要问题进行一个较完整全而的介绍，从而提供从事线性化理论与应用研究的基础。关键词：线性化；Poincare定理；状态反馈；非正则；部分线性化1介绍非线性系统线性化处理与非线性（控制）系统是最有效的方法z—.它已被广泛用于研究很长一段时间，己获得许多有价值的理论成果.线性化也己被广泛用于各种工程问题。例如，飞机控制，动力系统，化学反应，经济系统，生物系统，神经网络,空调系统，生态系统，机器人控制系统等。垂直起降飞行器模型不是静态状态反馈线性化血是动态状态反馈线性化。双旋翼直升机模型的飞行控制器

3、的设计。局部线性化的设计方法主要运用静态反馈线性和较低的子系统层次实现。输入输出反馈线性化方法被用来设计i个分散的大型电力系统的非线性控制器，事实证明，输入输出线性化类型的反馈可以接近反应器任意设定点的运动轨迹，即使有参数的不确定性。状态空间精确线性化方法应用于Kaldor和Bonhoeffer-VanDerPohl非线性控制系统的非线性反馈控制律的设计。线性化的应用分别列举了生物系统和物理系统这两个系统的综合分析。作为多输入多输出双线性系统的一个VAVAC电厂的动态模型推导和制定。反馈线性化的应用于非线性模型的解耦和线性化，非正规

4、的静态反馈线性化应用于一类柔性关节机器人，构建控制器是全局渐近稳定。线性系统X=Ax,XE（1.1）它可以被称为最简单的动态系统。其动态特性完全取决于其系数矩阵A,—•类非线性系统利用B提出的泰勒展开式，独立，/的各组成部分，我们有(兀-/^(兀“兀-兀。)其中/(兀)=/(兀0)+丿/(兀-兀0)+刁(X—X())T日盒(兀())(兀一兀)(1.3)弘0；■•••&Jdxn是/的雅可比矩阵，并且刊;dx}dx2巧;dx{dxn刊;dxudx}dxndx2是£•的Hessian矩阵。假设/(O)=O,z>,心;•••兀=0是/的一个

5、平衡点。那么，我们可以12・・丿，近似它为x=Jfx,xwR".(1.4)这是古典的近似线性。这可以做到围绕式(1.2)的每一个平衡点。关于这个线性化众所周知的结果如下：如果丿特征值有负实部，系统(1・2)在原点是渐近稳定的。如果它有至少一•个特征值有正向的现实部分，该系统在原点是不稳定。这一结果发表在1983o考虑仿射非线性控制系统“I丘=/(X)+工g,(小曾=/W+G(x)",xgR(1.5)/=l其中/⑴和匕⑴，心1,…,加是从R"到R”的光滑映射。假设/(0)=0为了得到(1.5)-个类似的状态反馈闭环形式的线性化近似，

6、让丿作为式(1.3)和$=&(())，/=m(简略的B=G(0)),然后对系统(1.5)线性化近似为：mx=Jx+=Jx+Bu,xeR(1・6),=i在分析和设计系统屮近似线性化是一个有用的工具，但它也有一些缺点如：•它只是一个近似值，并且不能用于精确设计的系统动力学。•它体现出只有菲常有限的局部性质。•当丿存在某些情况(有实部为零的特征值)，没有任何结论。菲线性控制系统的微分儿何方法首先由Brockett提出。在此以后，它已经发展成一个菲线性控制系统的儿何理论。在建立了儿何结构，代替"。可以定义为一个兀阶的菲线性控制系统。这是一般

7、的框架放宽了状态空间的限制。假设，当满足条件吋，可以用（，3）來描述其状态。我们参阅［15］的详细的图示和许多有趣的示例。第一，非线性控制系统几何理论最成功的成果Z-可能是非线性系统的精确线性化。这一•成果得到了各种实际的应用。同时，许多扩展和概括已经提出。这些工作包括：（a）不同类型的线性化，如全局线性，输入输出线性化，具有输出线性化，近似线性等；（b）数学工具的发展，如非正规的反馈线性化，动态反馈线性化等；（c）相关形式，如部分线性，一般的P矩阵形式等。本文组织如下：在第2节回顾微分几何屮的相关概念。在第3节，考虑局部（全局）庞

8、加莱线性。在第4节给出状态反馈线性化的结果。在第5节给出算法和全局线性。在第6节已重述非定期的反馈线性化。在第7节介绍输入输出线性化。在第8节屮，我们讨论局部线性化。关于线性化的其他问题，如近似线性化，动态反馈线性化，carleman