非线性函数的线性化问题

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1、非线性函数的线性化问题冯仲科北京林业大学2012.4.1一.数学期望与方差性质1.随机变量的数学期望就是所有可能取值的概率平均值，简称均值，它有如下性质：（1）常数c的数学期望等于它本身，即E(c)=c.（2）常数c与ξ之积的数学期望等于c与ξ的数学期望之积，即E(cξ)=cE(ξ).（3）n个随机变量之和的数学期望，等于各随机变量数学期望之和，即E(ξ1+ξ2+···+ξn)=E(ξ1)+E(ξ2)+···+E(ξn).（4）随机变量的线性函数F=α1ξ1+α2ξ2+···+αnξn=的数学期望为E()=α1E(ξ2)+α2

2、E(ξ2)+···+αnE(ξn).)（5）n个相互独立的随机变量之积的数学期望，等于各随机变量数学期望之和，即E(ξ1ξ2···ξn)=E(ξ1)E(ξ2)···E(ξn).2.随机变量的方差是描述随机变量所有可能取值离散程度的。在测量中就是中误差的平方，是一个精度指标。它有如下性质：（1）常数c的方差等于零，即D(c)=0.（2）常数c与随机变量之积的方差等于c2与方差之积，即D(cξ)=c2D(ξ).（3）n个相互独立的随机变量之和的方差等于各个随机变量的方差之和，即D(ξ1+ξ2+···+ξn)=D(ξ1)+D(ξ2)

3、+···+D(ξ3).（4）相互独立的随机变量的线性函数F=α1ξ1+α2ξ2+···+αnξn=的方差为D()=D(ξ1)+E(ξ2)+···+E(ξn).例.已知⊿=X-L,求真误差⊿的方差。解：因X是常数，故有D(⊿)=D(X)+D(L)=D(L),亦即观测值L的误差方差D(⊿)等于观测值本身的方差D(L)。例.求算术平均值X=(L1+L2+…+Ln)的方差。解：D(x)=(D(L1)+D(L2)+···+D(Ln)).如果D(L1)=D(L2)=···=D(Ln)=σ2,则上式为D(x)=,令=σx，则有σx=式中σ和

4、σx分别为观测值和算术平均值的标准差，标准差在测量中称为中误差。二.协方差及其传播律1.协方差的概念及定义设有线性函数z=f1x+f2y，令x，y的真误差为⊿x，⊿y，则z的真误差⊿z为⊿z=f1⊿x+f2⊿y.⊿y它的中误差mxy为mxy=.当x与y彼此不独立，例如它们都是独立观测值L的函数：x=3L，y=4L，则有mxy===12≠0，式中，mL为L的中误差，为L的方差。例.已知x=3L1-2L2，y=2L1+3L2，L1和L2相互独立且同精度，设L1和L2的方差均为m2，试判别x与y是否独立。解：从x与y均是L1，L2的

5、函数看，它们似乎相关，其实不一定。由已知关系得⊿x=3⊿L1-2⊿L2，⊿y=2⊿L1+3⊿L2，⊿x⊿y=6⊿-6⊿+5⊿L1⊿L2，顾及=0，则x与y的协方差为mxy==6m2-6m2=0.可见，此例x与y实为互相独立的观测值。协方差有如下性质：（1）当随机变量X与Y独立时，有σXY=0.（2）当X=Y时，有σXY==（3）当X与Y成线性关系：Y=aX+b，式中，a、b为常数，则有当a>0σXY=当a<0σXY=–2.一般误差传播定律设有相关观测值x1,x2,···xn的线性函数的一般形式为z=f1x1+f2x2+···+

6、fnxn,最后可以得到它的中误差为mxy=a1b1+a2b2+···+anbn若用一般符号表示xi的方差，σij表示xi与xj的协方差，则一般误差传播定律式可以写成如下形式：=+2f1f2σ12+···+2f1fxσ1n++···+2f2fnσ2n·································+3.协方差阵及其传播律如果有两个随机变量X1和X2，已知其数学期望为E(X1)和E(X2)，方差及协方差为D(X1),D(X2)和=，则定义E(X)=，D(X)=其中D(X)可以写成D(X)=E(X-E(X))(X-

7、E(X))T一般，设有t维随机向量X=(X1X2···Xt)T，定义X的数学期望和方差为E(X)=D(X)=协方差阵传播率随机向量X的数学期望E(X)是由E(X)=定义的，它具有如下性质：（1）常数向量C的数学期望等于它本身，即E(C)=C.（2）常数矩阵A与随机向量X之积的数学期望等于A与X的数学期望之积，即E(AX)=AE(X).（3）设A和B为常数矩阵，X和Y为随机向量，则AX与BY之和的数学期望等于AX的数学期望与BY的数学期望之和，即E(AX+BY)=AE(X)+BE(Y).特别地，当A和B均为单位阵，X和Y的维数相

8、同，有E(X+Y)=E(X)+E(Y).(4)设有随机向量X和Y，则E(XYT)=E(X)(E(Y))T+σXY设有两个线性函数=+，=+A﹑B﹑C﹑H为常数矩阵，则有FG=AD(X)CT+AσXZHT+BσYZHT证:σFG=E[(AX+BY-E(AX+BY))(CX+HZ