知识讲解_三角恒等变换_基础.doc

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1、三角恒等变换编稿：李霞审稿：孙永钊【考纲要求】1、会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2、能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.3、能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.4、能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和羌化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）.【知识网络】【考点梳理】考点一、两角和、差的正、余弦公式sin(a±0)=sinacos0±cosasin0(S(^1/n)cos(a±0)=cosacos

2、0干sinasin0(C("丄“))tan(a±0)=tanq±tan0-tantan0(石a±0))要点诠释:1.公式的适用条件（定义域）:前两个公式S（m、，C（°邛、对任意实数a,0都成立，这表明该公式是Rjr上的恒等式；公式乙”）③屮wR,且a、0、h—+k”（kwZ）22.正向用公式S@±0）,C（冲），能把和羌角（a±0）的弦函数表示成单角a,B的弦函数；反向用，能把右边结构复杂的展开式化简为和差角仏±0）的弦函数。公式正向用是用单角的正切值表示和茅角（a±0）的正切值化简。考点二、二倍角公式1.在两

3、角和的三角函数公式％+砂C（»砂乙+0）中，当a=0时，就可得到二倍角的三角函数公式sin2a=2sinacosa_(S2a)；cos2q=cos~a一sirra(C2fZ)；tanla二2tana(十、要点诠释：rrIcTT7T1.在公式52a,c2a屮，角a没有限制，但公式屮，只有当—+厶和—+炽伙WZ)时才成立；2.余弦的二倍角公式有三种：cos2«=cos2a-sin2«=2cos2a-1=1-2sin2a；解题对应根据不同函数名的需要，函数不同的形式，公式的双向应用分别起缩角升幕和扩角降幕的作用。3.二

4、倍角公式不仅限于2a和a的二倍的形式，其它如4a是2a的二倍，竺是乞的二倍，3a是乂的242二倍等等，要熟悉这多种形式的两个角相对二倍关系，才能熟练地应用二倍角公式，这是灵活运用这些公式的关键。考点三、二倍角公式的推论降幕公式：sinacosa=—sin2a；2.21-cos2qsirra=；221+cos2acos_a=.2万能公式:sin2a=2tana1+tan2a1-tan2acos2a=；—1+tarra半角公式:.a,-COS6Tsin—=±J2V21+cosacos—2tan£=,1-cos^2V

5、l+cosaa其中根号的符号由-所在的象限决定.2要点诠释：Of(1)半角公式屮正负号的选取rh—所在的象限确定；23a⑵半角都是相对于某个角来说的，如——可以看作是肌的半角，2a可以看作是4a的半角等等。2(3)正切半角公式成立的条件是aH2kir+Ji(keZ)正切还有另外两个半角公式：tan—=S*n6Z(a丰2£兀+/r),tan竺=-(a丰k7tkeZ,这两21+cosq2sinQ个公式不用考虑正负号的选取问题，但是需要知道两个三角函数值。常常用于把正切化为正余弦的表达式。考点四、三角形内角定理的变形

6、由A+B+C=/r,知4=/r-(B+C)可得出:sinA=sin(B+C),cosA=-cos(B+C)•A7i(B+C)右22_【典型例题】类型一：正用公式21例］.已知:since=―,cosB=——,求cos(a-Z?)的值.14【思路点拨】尙接利用两角淬的余弦公式.【解析】由己知可求得cosG=±V1-sin2

7、434当a在第一象限而0在第三彖限时，/心氐(V15x2V15+V5cos(a_0)=——(——)+—•()=343412当a在第二象限而0在第二象限时，(々、,V5v1、2V152V15+V512cos(a_0)=(_-)(--)+-•〒当a在第二象限而0在第三象限时，/小，厉“1、_2,届、2V15-V5cos(cr_0)=()(——)+_•()=・143412【点评】例1是对公式的正用.当三角函数值的符号无法确定时，注意分类讨论.举一反三：7T4【变式1】已知心巧，0),COSX-,mtan2x【答案】号■

8、-A-.IX«.zz71rnItanX【变式2】已知tan(x+—)=2,则4tan2x【答案】+【变式3】已知tana和tan"是方程2x2+x-6=0的两个根，求tan(a+0)的值.【答案】--【解析】由韦达定理，得tanor+tan/?=-—,tan«•tan=-3,・・・ta如0)=旦也也」.1-tan«•tan[38【高清课堂：三角恒等变换397881例1】【