三角恒等变换--基础知识资料包

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1、DateTimeName三角恒等变换#0知识梳画一.两角和与差的正弦、余弦和正切公式1.两角和的余弦公式的推导设角度Q和0为任意角，如图在平面直角坐标系xoy小，作ZAOB=a,ZBOC=0,则AAOC=a+(3.作单位圆，设角a和0分别与单位圆交于B和C两点，由三角函数定义可知:A(l,0),B(cosa,sina),C(cos(a+0),sin(a+/?)),£>(cos(-/?),sin(-/?)),由已知条件得：ZAOC=Z8OD,:.弧DAB二弧ABC,:.D^=Ad[,因为J〔8Sa_8s(_0)]2+[sina_sin(_0)『=J[8s(a+0)-l

2、『+sin2(a+0),所以[cosa-cos(-0)f+[sina-sin(-yff)]2=[cos(a+0)-l『+sin2(«+/?),展开并整理得：2-2(cosacos0-sinasin0)=2-2cos(a+0),化简后得：cos(q+0)=cosacos0-2.两角差的余眩公式的推导将公式中的0用一0替换后得：cos(a-0)=cosacos(-0)-sinasin(-0),根据诱导公式化简后得：cos(a-0)=cosacos0+sinasin0,此公式称为两角差的余弦公式,记作C(a_0)•3•两角和的正弦公式的推导JTTTrfl诱导公式(四)得：si

3、n(G+")二cos[―—S+”)]=cos[(—由两角差的余弦22公式得：sin(a+〃)二cos(—一a)cos0+sin(—一a)sin"二sinacos0+cosasin0,此公式称为两角和的22正弦公式，记作S@+0)・4.两角差的正弦公式的推导sin(a—0)=sin[a+(—0)]二sinacos(—”)+cosasin(—0)=sinacos0—cosasin",此公式称为两角差的正眩公式，记作S("0).5.两角和的正切公式的推导z小sin(d+0)sincos0+cosasin0zz小…、>m”tan(ot+/?)==(cos(a+0)主0),女口果

4、cosacos〃fO,即cos(q+0)coscrcos0-sinosin0cos^M0且cos##)时，分子、分母同除以cosacos”得：tan(a+B)=—"叱+tan0_,此公式称1-tanciftan^/?)为两角和的正切公式，记作Tg卩).6.两角差的正切公式的推导由角的任意性可将上式"用一0替换：tan(a-0)二“皿+伽乡=伽―tan弓,此公1一tanatan(-p)1+tantztanp式称为两角差的正切公式，记作T”.7.角的代换将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用于公式，像这样的代换方法就是角的代换.常见的配角技巧：d(1)q=2・一；(2)g

5、=(g+0)—0；(3)Q=0—(0—Q)；2(4)a=£[(a+0)+(a-0)]；(5)0=2[(Q+0)-(Q-0)].一.辅助角公式及其应用函数/(X)=asina+bcosa可化为/(x)=asina+bcosa=Ja，+戻sin(a+©)其中COS0=a4a1+/?2sin©yla2+b2tan^=-,此公式称为辅助角公式，通过辅助角公a式可以将函数/(x)二asina+bcoscr化为标准型/(%)二Asin(2¥+0)的形式.二.二倍角公式及其推导1.正弦二倍角公式推导*.*sin(Q+0)=sinacos/?+cosasin[3,由角的任意性可将上式中

6、的0用&替换：sin&+a)=sirrzco!gz+coKzsirrz=2sirrzcoKz,化简得：sin2a=2sin

7、推导・・・tan®+0)=讥曲+帥",由角的任意性可将上式中的0用q替换：l-tan^ztanpz、tancr+tana2tanq□八亠刁"十，亠“八亠一z/仃tan(Q+a)==—,此公式称为正切的二倍角公式，记作工>°・1一tanatanq1—tarrq一.半角公式及其推导1.正眩半角公式由二倍角公式cos6z=l-2sin2-得sin冬=±上竺竺22V22.余弦半角公式由二倍角公式8SX2COS守1得吨沁罟3.正切半角公式1一COSQ•asin—由正弦半角公式和余弦半角公式得tan-=—=±ir2、小©v1+cos(7cos—2at