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1、关于矩阵分解的讨论扌商要矩阵理论既是学习经典数学的基础，又是一门最有实用价值的数学理论.它不仅是数学的一个重要的分支，而且己成为现代各科技领域处理大量有限维空间形式与数量关系的强有力的工具•矩阵的分解在求解线性方程组、参数估计等问题屮有广泛的应用.本文对矩阵分解进行了简单的归类，对其分解过程进行了仔细的分析和阐释,对实行某种分解需满足的条件进行了深入的剖析•同吋，对某些分解的特殊情况进行了讨论•最后，运用MATLAB函数对一些矩阵进行了分解.关键词矩阵；分解；MATLAB1、力r去分角军12、乘法分解22.1乘
2、法分解定义22.2对乘法分解进行归类22.2.1.矩阵的三角(LU)分解法22.2.2.矩阵的满秩分解32.2.3.矩阵的0?(正交三角)分解42.2.4.矩阵的可逆一幕等分解62.2.5.矩阵的VOSS分解62.2.6.矩阵的极分解72.2.7.矩阵的正交对角分解82.2.8.矩阵的奇异值分解93、关于矩阵分解的其它情况讨论114、用MATLAB程序进行矩阵分解13参考文献141、加法分解定义将一•个已知矩阵分解成若干个矩阵之和，这些矩阵需满足一•些特定的条件.存在兀阶可逆矩阵P例1证：秩为m的矩阵可表为加个
3、秩为1的矩阵之和.证明：设川严t秩Aw由矩阵的等价标准形可知，和s阶可逆矩阵Q,使A=°je0-0W=3+82+•••+Bm其屮慎=plIII秩B*=1（k=1,2,…，加）例2任何“阶矩阵4都可以唯一的表示为A=B+C,其屮B是对称矩阵，C是反对称矩阵.证明：由等式人=土仝*一_以及注啓的对称性，旦彗的反对称性2222即知命题成立•又假设4=B+C=耳+G其屮目是对称矩阵，G是反对称矩阵，那么B-B}=CrC既是对称的又是反对称的，所以B-B,=q-C=0由此知B=B,C=C所以表示是唯一的.2、乘法分解2.
4、1乘法分解定义：将一个已知矩阵分解成若干个矩阵之积，这些矩阵需满足一些特定的条件.2.2对乘法分解进行归类221.矩阵的三角CLU）分解法⑴定义如果方阵A可分解成一个下三角矩阵厶和一个上三角矩阵U的乘积，则称A可作三角分解•它的用途主要是简化一个大矩阵的行列式值的计算过程，求解联立方程组.但是需要指出的是一个方阵的Lt/分解并不唯一•这是因为如果A=LU是A的一个三角分解，令D是对角元素都不为零的对角矩阵，则LU=LDD-}U=由于上（下）三角矩阵的乘积仍是上（下）三角矩阵，I大I此LD=L,D［U=O也分别是
5、下、上三角矩阵，从而也是A的一个三角分解•一般來说，矩阵的三角分解不是唯一的.⑵矩阵的LU分解的初等行变换算法步骤1利用初等行变换将矩阵A化为阶梯型矩阵即A揪⑪［］并…揪切［］U步骤2对单位矩阵执行与步骤1相应的初等行逆变换，得到单位下三角矩阵厶，即/揪即［］钏…揪即？［］L输出L"分解由4=厶U给出.关于上述算法，有两点注意事项：%1步骤2的初等行逆变换是步骤1对应的初等行变换&的逆变换；%1若在步骤1屮定义aRp+R{为将第p行元索乘常数a之后，加给第§行的初等行变换,则步骤2中相应初等行逆变换（aRQRJ
6、'定义为.aRQRq.例利用三角分解法将矩阵A拆解为上下三角矩阵的乘积.B2・1亠ET4=?2・53±bl-30土253A3O<1•胛1111o漏O枷t/亠士112--210-井zf2(*2oo1°±・0±=±户⑶分块矩阵的拟厶［/分解现在讨论如何将方阵A分解成两个拟三角矩阵的乘积问题，这种分解式无疑对处理高阶方阵分解问题带來方便，并能减少计算工作量•这里只限于参加运算的矩阵在纵向及横向裂分（分割）成2块的情况，但是反复使用所得的结果，很容易推出在纵向及横向裂分成3块或更多块情况下的公式.设右加，将A裂分成4
7、=其中％是q阶矩阵,竝是®阶矩阵(牛+n2=/?).如果£］可逆,构造拟下三角矩阵并左乘A得，%2~^21A1A2这相当于对A进行q个倍加的初等变换，再由①式便得分块矩阵的拟QU分解I::船爲羸2.2.2矩阵的满秩分解⑴定义设AiCj"（厂>0）,如果存在矩阵FiCT和GfC；'",使得4=FG则称FG为矩阵A的满秩分解.说明：当A是满秩（列满秩或行满秩）矩阵时，A可分解为一个因子是单位矩阵，另一个I大I子是A本身，称此满秩分解为平凡分解.⑵定理设Cj"O>0）,则A有满秩分解式4=FG.证明:rankA=r时
8、，根据矩阵的初等变换理论，对4进行初等行变换，可将4化为阶梯型矩阵B,即A?B邂，GC；'"于是存在有限个加阶初等矩阵的乘积，记作P,使得PA=〃或者PXB将F'分块为p-]=備
9、s，其中Ffcn;r则有A=p'，s=iisi=FG其屮F是列满秩矩阵，G是行满秩矩阵.须要指出的是，矩阵A的满秩分解式FG不是唯一的•这是因为若取D是任一个厂阶非奇异矩阵，则人=FG可改写为（FD）（D-*
