拓扑学发展初期.doc

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1、拓扑学的发展初期几何拓扑学是十九世纪形成的一门数学分支，它属于几何学的范畴。有关拓扑学的i些内容早在十八世纪就出现了。那时候发现一些孤立的问题，后來在拓扑学的形成中占着重要的地位。有关拓扑学的一些内容早在I•八世纪就出现了。那时候发现一些孤立的问题，后來在拓扑学的形成屮占着匝要的地位。在数学上，关于哥尼斯堡七桥问题、多面体的欧拉定理、四色问题等都是拓扑学发展史的重要问题一.硏尼斯堡七桥问题：哥尼斯堡（今俄罗斯加里宁格勒）是东普鲁士的首都，哥尼斯堡七桥问题示意图普莱格尔河横贯其中。十八世纪在这条河上建有七座桥，将河中间的两个岛和河岸联结起來

2、。人们闲暇时经常在这上边散步，一天有人提出：能不能每座桥都只走一遍，最后又冋到原來的位匿。这个问题看起來很简单有很有趣的问题吸引了大家，很多人在尝试各种各样的走法，但谁也没有做到。看来要得到一个明确、理想的答案还不那么容易。（图1）1736年，有人带着这个问题找到了当时的大数学家欧拉，欧拉以深邃的洞察力很快证明了这样的走法不存在。欧拉是这样解决问题的:既然陆地是桥梁的连接地点,不妨把图屮被河隔开的陆地看成A、B、C、D4个点，7座桥表示成7条连接这4个点的线，如图2所示经过进一步的分析，欧拉得出结论一不可能毎座桥都走一遍，最后冋到原來的位

3、置。并且给出了所有能够一笔画出來的图形所应具有的条件。这是拓扑学的“先声”。（图2）于是，七桥问题就转化为一个象图2那样的图形是否可以“一笔画啲问题。什么叫“一笔画疗呢?那就是笔不准离开纸，一气画成整个图形，但毎一•条线只许画一次，不得重复。像图2这样的图形能不能一笔画呢？1736年欧拉证明了：答案是否定的。为什么呢？经过研究，欧拉发现了一笔画的规律。他认为，能一笔画的图形必须是连通图。连通图就是指一个图形各部分总是有边相连的，这道题屮的图就是连通图。但是，不是所有的连通图都可以一笔画的。能否一笔画是山图的奇、偶点的数目來决定的。那么什么

4、叫奇、偶点呢？与奇数（单数）条边相连的点叫做奇点；与偶数（双数）条边相连的点叫做偶点。如下图中的①、④为奇点，②、③为偶点。1.凡是山偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。例如卜•图都炬偶点,画的线路可以是：①T③T⑤一②一—⑥—⑦—①2.凡炬只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔训成。画时必须把一个奇点为起点•另一个奇点终点。例如下图的线路是：①T②-＞③T①T④3.其他情况的图都不能一笔画出。因为除了起点和终点之外，我们把其余的点称为中间点。如果一个图可以一笔画的话

5、，对于每一个屮间点来说，当画笔沿某条线到达这一点时,必定要沿另一条线离开这点,并且进入这点几次,就要离开这点几次，一进一出，两两配对，所以从这点发出的线必然要是偶数条。因此，一个图形能否一笔画就有了一个判别准则：一个可以一笔画的图形最多只能有两个点（起点和终点）与奇数条线相连。・再看图2中的四个点都是与奇数条（三条或五条）线相连的，根据这一判别准则，是不能一笔画的。从而证明了七桥问题所要求的走法是不存在的。曾经难倒许多人的七桥问题，经过欧拉这一转化，就像哥伦布竖鸡蛋一样，简单而I员I满地解决了。二.多血体定理:在拓扑学的发展历史中，还有一

6、个著名而且重要的关于多曲体的定理也和欧拉有关。这个定理内容是:如果一个凸多面体的顶点数是V、棱数是e、面数是f,那么它们总有这样的关系:f+v-e=2o仅有的五种正多面体根据多面体的欧拉定理，可以得出这样一个有趣的事实：只存在五种正多面体。它们是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。R三.四色问题：著名的“四色问题”也是与拓扑学发展有关的问题。四色问题又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一。四色猜想的提出來自英国。1852年，毕业于伦敦大学的死南西斯.格思里來到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看來,

7、每幅地图都可以用四种颜色若色，使得有共同边界的国家都被着上不同的颜色。”1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。1878-1880年两年间，苦名律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猪想的论文，宣布证明了四色定理。但后來数学家赫伍徳以自己的精确计算指出肯普的证明是错谋的。不久，泰勒的证明也被人们否定了。于是，人们开始认识到，这个貌似容易的题冃，其实是一个可与费马猜想相媲美的难题。进入20世纪以來科学家们对四色猜想

8、的证明基本上是按照肯普的想法在进行。电子计算机问世以后，山于演算速度迅速提高，加之人机对话的出现，大大加快了对四色猜想证明的进程。1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同