高考数学复习-圆的方程基础(2).doc

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1、圆的方程【学习目标】1.掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题，并会推导圆的标准方程.2.掌握圆的一般方程的特点，能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．【要点梳理】【高清课堂：圆的方程370891知识要点】要点一：圆的标准方程，其中为圆心，为半径.要点诠释：(1)如果圆心在坐标原点，这时，圆的方程就是.有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x轴上：b=0；圆与y轴相切时：；圆与x轴

2、相切时：；与坐标轴相切时：；过原点：(2)圆的标准方程圆心为，半径为，它显现了圆的几何特点.(3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a、b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法.要点二：点和圆的位置关系如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有(1)若点在圆上(2)若点在圆外(3)若点在圆内要点三：圆的一般方程当时，方程叫做圆的一般方程.为圆心，为半径.要点诠释：由方程得(1)当时，方程只有实数解.它表示一个点.(2)当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．(3)当时，

3、可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆.要点四：几种特殊位置的圆的方程条件方程形式标准方程一般方程圆心在原点过原点圆心在x轴上圆心在y轴上圆心在x轴上且过原点圆心在y轴上且过原点与x轴相切与y轴相切要点五：用待定系数法求圆的方程的步骤求圆的方程常用“待定系数法”.用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是：(1)根据题意，选择标准方程或一般方程.(2)根据已知条件，建立关于或的方程组.(3)解方程组，求出或的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程.要点六：轨迹方程求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法

4、”将其转化为关于变量之间的方程．1．当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）．2．求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等．3．求轨迹方程的步骤：（1）建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标；（2）列出关于的方程；（3）把方程化为最简形式；（4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）；（5）作答．【典型例题】类型一：圆的标准方程例1．求满足下

5、列条件的各圆的方程：（1）圆心在原点，半径是3；（2）圆心在点C（3，4）上，半径是；（3）经过点P（5，1），圆心在点C（8，―3）上．【思路点拨】根据题设条件，可利用圆的标准方程解决．【答案】（1）x2+y2=9（2）(x―3)2+(y―4)2=5（3）(x―8)2+(y+3)2=25【解析】（1）x2+y2=9；（2）(x―3)2+(y―4)2=5；（3）解法一：∵圆的半径，圆心在点C（8，―3）．∴圆的方程是(x―8)2+(y+3)2=25．解法二：∵圆心为C（8，―3），故设圆的方程为(x―8)2+(y+3)2=r2．又∵点P（5，1

6、）在圆上，∴(5―8)2+(1+3)2=r2，∴r2=25，∴所求圆的方程是(x―8)2+(y+3)2=25．【总结升华】确定圆的标准方程只需确定圆心的坐标和圆的半径即可，因此圆心和半径被称为圆的两要素．确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于a、b、r的方程组，求a、b、r或直接求出圆心（a，b）和半径r，一般步骤为：（1）根据题意，设所求的圆的标准方程为(x―a)2+(y―b)2=r2；（2）根据已知条件，建立关于a、b、r的方程组；（3）解方程组，求出a、b、r的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程．举一反三：【变式1

7、】圆心是（4，―1），且过点（5，2）的圆的标准方程是（）A．(x―4)2+(y+1)2=10B．(x+4)2+(y―1)2=10C．(x―4)2+(y+1)2=100D．【答案】A例2．写出下列方程表示的圆的圆心和半径．（1）x2+y2=2；（2）(x―3)2+y2=a2（a≠0）；（3）(x+2)2+(y+1)2=b2（b≠0）．【答案】（1）（0，0），（2）（3，0），

8、a

9、（3）（―2，―1），

10、b

11、【解析】（1）圆心（0，0），半径为；（2）圆心（3，0），半径为

12、a

13、；（3）圆心（―2，―1），半径为

14、b

15、．【总结升华】（2）、（

16、3）两题中a2、b2仅为半径的平方，没有给定a＞0，b＞0，∴半径r=

17、a

18、、

19、b

20、．例3．求经过A（0，―1）和直线x+y=1相切，且圆心在直线y=