陈纪修 学习心得数学分析.doc

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1、陈纪修教授《数学分析》九讲学习笔记与心得陈纪修教授《数学分析》九讲学习笔记与心得云南分中心×昆明学院×周兴伟此次听陈教授的课，收益颇多。陈教授的这些讲座，不仅是在教我们如何处理《数学分析》中一些教学重点和教学难点，更是几堂非常出色的示范课。我们不妨来温习一下。第一讲、微积分思想产生与发展的历史法国著名的数学家H.庞加莱说过：“如果我们想要预见数学的将来，适当的途径是研究这门科学的历史和现状。”那么，如果你要学好并用好《数学分析》，那么，掌故微积分思想产生与发展的历史是非常必要的。陈教授就是以这一专题开讲的。在学校中，我不仅讲授《数学分析》，也讲授《数学史》，所以我非常赞同陈教授在教

2、学中渗透数学史的想法，这应该也是提高学生数学素养的有效途径。在这一讲中，陈教授脉络清晰，分析精当，这是我自叹不如的。讲《数学史》也有些年头，但仅满足于史料的堆砌，没有对一些精彩例子加以剖析。如陈教授对祖暅是如何用“祖暅原理”求出球的体积的分析，这不仅对提高学生的学习兴趣是有益的（以疑激趣、以奇激趣），而且有利于提高学生的民族自豪感（陈教授也提到了这一点）。在这一讲中，陈教授对weierstrass的“ε−N”、“ε−δ”语言的评述是“它实现了静态语言对动态极限过程的刻画”。这句话是非常精当的，如果意识不到这一点，你就很难理解这一点。在此我还想明确一点：《数学分析》的研究对象是函数，

3、主要是研究其分析性质，即连续性、可微性及可积性，而使用的工具就是极限。如果仔细盘点一下，在《数学分析》中，无论是数、函数、数列、函数列，数项级数，函数项级数等相关问题，无不用到这一语言，你应该能理解陈教授的“对于数学类学生来说，没有“ε−N”、“ε−δ”语言，在《数学分析》中几乎是寸步难行的”这一观点。陈纪修教授《数学分析》九讲学习笔记与心得第二讲、实数系的基本定理在这一讲中，陈教授从《实变函数》中对集合基数的讨论展开，对实数系的连续性作了有趣的讨论。首先是从绅士开party的礼帽问题，带我们走进了“无穷的世界”。我在开《数学赏析》时有一个专题就是“无穷的世界”，我给学生讲礼帽问题

4、、也讲希尔伯特无穷旅馆问题，但遗憾的是，当我剖析“若无穷旅馆住满了人，再来两个时，可将住１号房间的移往３号房间，住２号房间的移往４号房间，从而空出两个房间”时，学生对我“能移”表示怀疑。这一点我往往只能遗憾的说“跳不出有限的圈子，用有限的眼光来看无限，只能是‘只在此山中，云深不知处’”。当然，我还是会进一步考虑如何来讲好这一讲。若陈教授或其他老师有好的建议，能指点一下，则不胜感激。对于集合[0,1]与(0,1)的对等关系，包括Q与Ｒ的对等关系，或者说他们之间双射的构造。关键在于“求同存异”，找一个可数集来“填补”他们之间的差距，这相当于希尔伯特无穷旅馆问题中来了两个人和来了可数个人

5、。对于实数集中的有理数，“廖若晨星”是非常形象的描述。一声集合的哨响，我们发现，有理数在实数轴上几乎是没有位置的（mQ=0），用一系列的帽子来盖住这些点，而这些帽子的大小是ε，这是非常精彩的结果。从可数集到不可数集，再加上无最大基数定理，让我们看到了“无穷的层次性”，由此我们不难理解“人外有人，天外有天，无穷之外有无穷”。我们不能不发出“哀吾生之须臾，羡长江之无穷”的感慨。陈教授对单调确界原理的证明非常清晰明了，几何直观的描述形象直观。第三讲　《数学分析》课程中最重要的两个常数法国著名雕塑家罗丹曾经说过“生活中从不缺少美，而是缺少发现美的眼睛”。我想说：“数学中并不缺少美，缺少的是

6、揭示数学美的老师”。陈教授是一个出色的老师，他不仅发现了数学的美，而且为我们展示了数学的美。著名的欧拉公式：陈纪修教授《数学分析》九讲学习笔记与心得，实现了有理数、无理数、超越数、实数、虚数完美统一，获得“最美的数学定理”称号。欧拉建立了在他那个时代，数学中最重要的几个常数（）之间的绝妙的有趣的联系，被认为是数学奇异美的典例。在本讲中，陈教授以李大潜院士访问法国“引入”的一个有趣例子开讲，让我们体会了数学中的美，这个不等式还有许多有意思的地方，无论是不等式的形式，还是他的证明，都非常深刻地体现了数学的美。Pi是无理数的证明，吸引了与会学员的眼球，赞叹之余，有学员问这一证法的出处，我

7、也还真想知道，请陈教授不吝指教。本讲最后将函数sinx/x展成无穷乘积形式，并妙用此形式求出p级数中p为偶数值时的和，对我而言是耳目一新的。在我记忆中好像菲尔金哥尔茨的《微积分学教程》(第二卷)中也有求出的方法，而p为奇数的情形好像至今尚未解决。对p=2的情形，欧拉至少用两种方法得到结果，其中一种方法妙用了L’Hospital法则(《数学译林》09.3)。第四讲　级数与反常积分收敛的A.D判别法恰逢这个学期讲《数学分析》(3)，在讲授含参变量反常积分时，先复习了反常积