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1、线性代数模拟试卷（1）一．判断题（每题2分）（1）若向量组线性相关，则其中任一向量可由其余个向量线性表示。（）（2）设为同阶方阵，则（）（3）设为同阶方阵且都可逆，则也可逆。（）（4）设，则矩阵中所有大于阶的子式一定全为零。（）（5）具有相同秩的向量组一定等价。（）二．填充题（每题4分）（1）要使矩阵的秩最小，则=（2）为给定的阶方阵，满足，则=（3）若为正定二次型，则=(4)已知，则=(5)向量空间中一组向量，若满足则称为的一组基。三．计算下列行列式（每题8分）（1）（2）四．（本题10分）设矩阵，且求矩阵五．（本题8分）设线性方程组当取何值时，方程组无解？有
2、解？当方程组有解时，求它的全部解？六．（本题10分）已知向量组，求此向量组的秩及一个最大线性无关组？七．（本题14分）求正交变换，将二次型化为标准形？八．（本题8分）设向量组是一组维向量，已知维单位坐标向量能由它们线性表示，证明线性无关。九．（本题4分）若可逆方阵的各行元素之和为，证明：的各行元素之和为试题1参考答案一．（1）否（2）否（3）否（4）是（5）否二．（1）要使矩阵的秩最小，则=（2）为给定的阶方阵，满足，则=（1）若为正定二次型，则=大于2的实数（2）已知，则=（5）向量空间中一组向量，若满足（1）线性无关；向量空间中的任一向量都可由线性表示，则称
3、为的一组基。三．计算下列行列式（1）=（2）四．方法一：对利用初等行变换方法二：五．时无解时有解，解为六．向量组的秩一个最大线性无关组为或其它形式七．；特征向量分别为；八.设：；：；则，，所以线性无关。九．；可逆方阵，所以，即的各行元素之和为线性代数模拟试卷（2）一．判断题（每题2分）（1）若有全为0的数，使向量组有成立，则线性无关。（）（2）设为阶实方阵，为实数，则（）（3）等价的向量组有相同的秩。（）（1）若齐次线性方程组中，方程的个数少于未知量的个数，则此方程组必有非零解。（）（2）设为阶方阵，满足，则（）二．填充题（每题4分）（1）线性方程组（为阶方阵）
4、有非零解的充要条件为（2）若维向量组线性无关，则与的大小关系为（3）已知，则=（4）为给定的阶方阵，满足，则=（5）设二次型为正定二次型，则的取值范围为三．计算下列阶行列式（本题10分）四．（本题10分）设矩阵，解矩阵方程五．（本题10分）设线性方程组当取何值时，方程组无解？有唯一解？无穷多解？当方程组有无穷多解时，求它的全部解？六．（本题10分）已知向量组，求此向量组的秩及一个最大线性无关组？七．（本题14分）求正交变换，将二次型化为标准形？八．（本题16分）证明题（1）若，且可逆方阵，则：（2）设为正交矩阵，证明：伴随矩阵也为正交矩阵。试题2参考答案一.（1
5、）否（2）否（3）是（4）是（5）否二．（1）（2）（3）（4）（5）三．四．；五．当时无解；当时有唯一解；当时有无穷多个解；解为六．向量组的秩；一个最大线性无关组为或其它形式七．；；特征向量为；；八．若，且可逆方阵，则：证明：因为可逆方阵，所以—设为正交矩阵，证明：伴随矩阵也为正交矩阵。因为为正交矩阵，所以，伴随矩阵也为正交矩阵。线性代数模拟试卷（3）一．填空（3分8，共24分）（1）设四阶行列式的展开式中有一项，此项前面应带的符号为；又设三阶行列式，其第二行元素的代数余子式之和＝。（2）一个阶行列式中,如果等于零的元素的个数大于,则。（3）已知n阶矩阵A，满
6、足，则=.。（4）当＝时，矩阵的秩＝2，此时若令矩阵＝，则的列向量组的一个极大无关组为。（5）为三阶实对称矩阵，且，不可逆，＝1，则的三个特征值为；以为系数矩阵的二次型的规范形为。二．计算（8分×3，共24分）（1）（2）计算（3）设矩阵与满足（其中为矩阵的伴随矩阵），化简此矩阵方程并求矩阵。三．（10分）设线性方程组问方程组何时有解?何时无解?有解时,是唯一解,还是无穷多解?四．（10分）试求向量组求和一个最大线性无关组,并将其他向量用最大线性无关组表示.五．（10分）已知向量组(Ⅰ);(Ⅱ);(Ⅲ).如果各向量组的秩分别为R(Ⅰ)=R(Ⅱ)=3,R(Ⅲ)=4
7、.试证明:向量组的秩为4.六．（10分）若矩阵满足其中,证明:七．（12分）判别下列二次型是否为正定二次型：=；试题3参考答案一、（1）负；46。（2）（3）。（4）4；与。（5）；。二、（1）==12。（2）由于其中则有所以故有（3）原式两边左乘得，所以，三．方程组的系数行列式为所以,(1)当时,原方程组有唯一解.(2)当时,方程组的增广矩阵为显见由于,所以原方程组无解.(3)当时,方程组的增广矩阵为当时,,所以原方程组无解.当时,,所以原方程组有无穷多解.由上可知,当或但时,原方程组无解.当时,原方程组有唯一解.当时,原方程组有无穷多解.四、将向量组作为列构
8、成矩阵,对它施行初等行变
