数学一2009考研数学真题解析数一b.doc

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1、方法二：由轮换对称性可知所以，（13）若3维列向量满足，其中为的转置，则矩阵的非零特征值为。【答案】2【解析】,的非零特征值为2.(14)设为来自二项分布总体的简单随机样本，和分别为样本均值和样本方差。若为的无偏估计量，则。【答案】【解析】为的无偏估计三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分9分）求二元函数的极值。【解析】故则而二元函数存在极小值（16）（本题满分9分）设为曲线与所围成区域的面积，记，求与的值。【解析】由题意，与在点和处相交，所以，从而由取得（1

2、7）（本题满分11分）椭球面是椭圆绕轴旋转而成，圆锥面是过点且与椭圆相切的直线绕轴旋转而成。（Ⅰ）求及的方程（Ⅱ）求与之间的立体体积。【解析】（I）的方程为，过点与的切线为，所以的方程为。（II）记，由，记，则（18）（本题满分11分）（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数在上连续，在可导，则存在，使得（Ⅱ）证明：若函数在处连续，在内可导，且，则存在，且。【解析】（Ⅰ）作辅助函数，易验证满足：；在闭区间上连续，在开区间内可导，且。根据罗尔定理，可得在内至少有一点，使，即（Ⅱ）任取，则函数满足；在闭区间上连续，开区间内可导，从而有拉格朗日中值定理可得：存

3、在，使得……又由于，对上式（*式）两边取时的极限可得：故存在，且。（19）（本题满分10分）计算曲面积分，其中是曲面的外侧。【解析】，其中①②③①+②+③=由于被积函数及其偏导数在点（0，0，0）处不连续，作封闭曲面（外侧）有（20）（本题满分11分）设①求满足的.的所有向量,.②对①中的任意向量,证明,,无关。【解析】（Ⅰ）解方程故有一个自由变量，令，由解得，求特解，令，得故，其中为任意常数解方程故有两个自由变量，令，由得求特解故，其中为任意常数（Ⅱ）证明：由于故线性无关.（21）（本题满分11分）设二次型（Ⅰ）求二次型的矩阵的所有特征值；（Ⅱ）

4、若二次型的规范形为，求的值。【解析】（Ⅰ）（Ⅱ）若规范形为，说明有两个特征值为正，一个为0。则1)若，则，，不符题意2)若，即，则，，符合3)若，即，则，，不符题意综上所述，故（22）（本题满分11分）袋中有1个红色球，2个黑色球与3个白球，现有回放地从袋中取两次，每次取一球，以分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数。（Ⅰ）求；（Ⅱ）求二维随机变量概率分布。【解析】（Ⅰ）在没有取白球的情况下取了一次红球，利用压缩样本空间则相当于只有1个红球，2个黑球放回摸两次，其中摸了一个红球（Ⅱ）X，Y取值范围为0，1，2，故XY01201/41/61/

5、3611/31/9021/900（23）（本题满分11分）设总体的概率密度为，其中参数未知，，,…是来自总体的简单随机样本(Ⅰ)求参数的矩估计量；（Ⅱ）求参数的最大似然估计量【解析】（1）由而为总体的矩估计量（2）构造似然函数取对数令故其最大似然估计量为