2009年考研数学一真题及答案解析

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1、2009年考研数学真题及答案详解2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题（1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.）（1）当时，与等价无穷小，则（）....-1-111（2）如图，正方形被其对角线划分为四个区域，，则（）....（3）设函数在区间上的图形为：1-2023-1O则函数的图形为（）.0231-2-11.0231-2-11第20页共20页2009年考研数学真题及答案详解.0231-11.0231-2-11（4）设有两个数列，若，则（）当收敛时，收敛

2、.当发散时，发散.当收敛时，收敛.当发散时，发散.（5）设是3维向量空间的一组基，则由基到基的过渡矩阵为（）....（6）设均为2阶矩阵，分别为的伴随矩阵，若，则分块矩阵的伴随矩阵为（）....第20页共20页2009年考研数学真题及答案详解（7）设随机变量的分布函数为，其中为标准正态分布函数，则（）....（8）设随机变量与相互独立，且服从标准正态分布，的概率分布为，记为随机变量的分布函数，则函数的间断点个数为（）0.1.2.3.二、填空题（9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.）（9）设函数具有二阶连续偏导数，，则。（

3、10）若二阶常系数线性齐次微分方程的通解为，则非齐次方程满足条件的解为。（11）已知曲线，则。（12）设，则。（13）若3维列向量满足，其中为的转置，则矩阵的非零特征值为。(14)设为来自二项分布总体的简单随机样本，和分别为样本均值和样本方差。若为的无偏估计量，则。三、解答题（15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分9分）求二元函数的极值。（16）（本题满分9分）设为曲线与所围成区域的面积，记，求与的值。（17）（本题满分11分）椭球面是椭圆绕轴旋转而成，圆锥面是过点第20

4、页共20页2009年考研数学真题及答案详解且与椭圆相切的直线绕轴旋转而成。（Ⅰ）求及的方程（Ⅱ）求与之间的立体体积。（18）（本题满分11分）（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数在上连续，在可导，则存在，使得（Ⅱ）证明：若函数在处连续，在内可导，且，则存在，且。（19）（本题满分10分）计算曲面积分，其中是曲面的外侧。（20）（本题满分11分）设（Ⅰ）求满足的.的所有向量,.（Ⅱ）对①中的任意向量,证明,,无关。（21）（本题满分11分）设二次型（Ⅰ）求二次型的矩阵的所有特征值；（Ⅱ）若二次型的规范形为，求的值。（22）（本题满分11分）袋中有1个红色

5、球，2个黑色球与3个白球，现有回放地从袋中取两次，每次取一球，以分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数。（Ⅰ）求；（Ⅱ）求二维随机变量概率分布。第20页共20页2009年考研数学真题及答案详解（23）（本题满分11分）设总体的概率密度为，其中参数未知，，,…是来自总体的简单随机样本(Ⅰ)求参数的矩估计量；（Ⅱ）求参数的最大似然估计量第20页共20页2009年考研数学真题及答案详解2009年考研数学一真题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）当

6、时，与等价无穷小，则（）....【答案】【解析】为等价无穷小，则故排除。另外存在，蕴含了故排除。所以本题选A。-1-111（2）如图，正方形被其对角线划分为四个区域，，则（）....【解析】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性。两区域关于轴对称，而，即被积函数是关于的奇函数，所以;两区域关于轴对称，而，即被积函数是关于的偶函数，所以；.所以正确答案为A.第20页共20页2009年考研数学真题及答案详解（3）设函数在区间上的图形为：1-2023-1O则函数的图形为（）.0231-2-11.0231-2-11.0231-11.0231-2-11

7、【答案】【解析】此题为定积分的应用知识考核，由的图形可见，其图像与轴及轴、所围的图形的代数面积为所求函数，从而可得出几个方面的特征：①时，，且单调递减。②时，单调递增。第20页共20页2009年考研数学真题及答案详解③时，为常函数。④时，为线性函数，单调递增。⑤由于F(x)为连续函数结合这些特点，可见正确选项为。（4）设有两个数列，若，则（）当收敛时，收敛.当发散时，发散.当收敛时，收敛.当发散时，发散.【解析】方法一：举反例A取B取D取故答案为（C）方法二：因为则由定义可知使得时，有又因为收敛，可得则由定义可知使得时，有从而，当时，有，则由正项级数

8、的比较判别法可知收敛。（5）设是3维向量空间的一组基，则由基到基的过渡矩阵为（）..第20页共20页2009