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时间:2020-03-18
《数学三2009考研数学真题解析数三b.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、三、解答题:15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分9分)求二元函数的极值。【解析】故则而二元函数存在极小值(16)(本题满分10分)计算不定积分【解析】令得第8页共8页(17)(本题满分10分)计算二重积分,其中.【解析】由得,第8页共8页(18)(本题满分11分)①证明拉格朗日中值定理,若函数在上连续,在上可导,则,得证.②证明:若函数在处连续,在内可导,且,则存在,且.【解析】(Ⅰ)作辅助函数,易验证满足:;在闭区间上连续,在开区间内
2、可导,且。根据罗尔定理,可得在内至少有一点,使,即(Ⅱ)任取,则函数满足;在闭区间上连续,开区间内可导,从而有拉格朗日中值定理可得:存在,使得……又由于,对上式(*式)两边取时的极限可得:故存在,且。(19)(本题满分10分)设曲线,其中是可导函数,且.已知曲线与直线及所围成的曲边梯形,绕第8页共8页轴旋转一周所得的立体体积值是绕曲边梯形面积值的倍,求该曲线方程。【解析】旋转体的体积为曲边梯形的面积为:,则由题可知两边对t求导可得继续求导可得,化简可得,解之得在式中令,则,代入得。所以该曲线方程为:。(20)(本题
3、满分11分)设,①求满足,的所有向量,.②对①中的任意向量,证明,,线性无关。【解析】(Ⅰ)解方程故有一个自由变量,令,由解得,第8页共8页求特解,令,得故,其中为任意常数解方程故有两个自由变量,令,由得求特解故,其中为任意常数(Ⅱ)证明:由于故线性无关.(21)(本题满分11分)设二次型①求二次型的矩阵的所有特征值。②若二次型的规范型为,求的值。第8页共8页【解析】(Ⅰ)(Ⅱ)若规范形为,说明有两个特征值为正,一个为0。则1)若,则,,不符题意2)若,即,则,,符合3)若,即,则,,不符题意综上所述,故(22)(
4、本题满分11分)设二维随机变量的概率密度为①求条件概率密度②求条件概率【解析】(I)由得其边缘密度函数故第8页共8页即(II)而(23)(本题满分11分)袋中有一个红球,两个黑球,三个白球,现在放回的从袋中取两次,每次取一个,求以、、分别表示两次取球所取得的红、黑与白球的个数。①求.②求二维随机变量的概率分布.【解析】(Ⅰ)在没有取白球的情况下取了一次红球,利用压缩样本空间则相当于只有1个红球,2个黑球放回摸两次,其中摸了一个红球(Ⅱ)X,Y取值范围为0,1,2,故第8页共8页XY01201/41/61/3611/
5、31/9021/900第8页共8页
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