数学物理方法初值问题

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1、1如果别人思考数学的真理像我一样深入持久,他也会找到我的发现。----高斯第三章初值问题本章基本要求掌握达朗贝尔公式、泊松公式及其物理意义掌握半无限长问题的延拓法求解2掌握非齐次方程问题的求解方法3.1弦振动方程（一）齐次弦振动方程（达朗贝尔公式）3定解问题的提出齐次方程可以写为：我们解方程一般是希望解出通解，再根据条件得到特解，但偏微分方程的通解形式一般很难界定，也较难求。研究表明，对无界情况的定解问题（波动方程和热传导）可以求出通解，然后通过初始条件得到特解。4研究发现，当作变量代换此时通过方程两边积分，即可求出方程的通解。5可

2、满足前述要求，此时(1)通解对积分：两边再对ε积分：得到6积分常数依赖于上式中f1为任意二次连续可微函数7同理交换积分顺序，同样可以得到此时f2为任意二次连续可微函数其中f1和f2均为任意二次连续可微函数上式即为通解形式确定待定函数的形式无限长，即无边界条件初始条件为和(2)达朗贝尔公式8即上面第二式两端对x积分，得到将上式和前面第一式联立，可求出9即上式即为达朗贝尔公式10（3）物理意义先考虑u2=f2（x-at）：当t=t2（t2>t1)时，u2=f2（x-at2）。故波形u2=f2（x-at）随着时间推移，以常速度a向x轴的正

3、方向移动。我们称之为右行波。当t=t1时，u2=f2（x-at1）；同理u1=f1（x+at）为一个以常速度a向x轴的负方向传播的行波。称为左行波。故达朗贝尔公式表明，弦上的任意扰动总是以行波形式分别向两个方向传播出去，其传播速度正好是弦振动方程中的常数a，故此方法又称为行波法。从达朗贝尔公式可以看出，波动方程的解，是初始条件的演化。方程本身并不可能产生出超出初始条件的，额外的形式来。而这种演化又受到边界条件的限制。这就说明了初始条件和边界条件在确定波动方程的解时的重要性。1112（4）依赖区间、决定区域、影响区域从达朗贝尔公式还可

4、以看出，解在点（x，t）的数值仅依赖于区间[x-at,x+at]上的初始条件，而与其他点上的初始条件无关。称[x-at,x+at]为点（x，t）的依赖区间，它是由过点（x，t）的两条斜率分别为±1/a的直线在x轴所截得的区间，如下图所示。tOx(x,t)x-atx+at13当t=0时，取x轴上的区间[x1,x2]，过点x1做斜率为1/a的直线x=x1+at，过点x2做斜率为-1/a的直线x=x2-at，两直线与区间[x1,x2]围成一个三角区域（如下图所示），该区域内的任一点（x，t）的依赖区间都落在[x1,x2]内，即解在这个区域

5、内的数值完全由区间[x1,x2]上的初始条件决定，而与此区间外的初始条件无关，这个区域称为区间[x1,x2]的决定区域。tOxx1x2x=x1+atx=x2-at14若在区间[x1,x2]的两端作直线x=x1-at和x=x2+at，则经过时间t后，受[x1,x2]上初始扰动影响的区域为在此区域外的波动不受[x1,x2]上初始扰动的影响，这个区域称为[x1,x2]的影响区域。tOxx1x2x=x1+atx=x1-at15从上面的讨论可以看出，直线族在对波动方程的讨论中起着很重要的作用，我们称这两族直线为波动方程的特征线。在特征线x+a

6、t=c1上，左行波u1=f1（x+at）的振幅取常数值f1（c1），同样在特征线x-at=c2上，右行波u2=f2（x-at）的振幅取常数值f2（c2），且这两个数值随特征线的移动（即常数c1和c2的改变）而改变，所以波动实际上是沿着特征线传播的。（5）特征线及二阶线性偏微分方程的分类16我们把前面所用的变量代换称为特征变换，而行波法又称为特征线法。很容易发现，特征线是常微分方程的积分曲线族。故上面的方程又称为偏微分方程的特征方程。17对于一般的二阶线性偏微分方程来说，它的特征方程为这个常微分方程的积分曲线称为偏微分方程的特征曲线。

7、可以看到，特征线仅与二阶导数项的系数有关，而与低阶项系数无关。但是，并不是任意二阶线性偏微分方程都有两族实的特征线。18每一点不存在实的特征线每一点仅有一条实的特征线每一点有两条实的特征线椭圆型方程抛物型方程双曲型方程拉普拉斯方程热传导方程波动方程反映一些属于稳定、平衡状态的物理量的分布状况反映一些快速消耗、扩散的物理量的分布状况反映一些按一定速度扩散的、可逆的物理量的分布状况（二）半无限长弦的自由振动19一端固定的弦延拓法求解第一类边界条件，作奇延拓令20前述函数满足21则22当x=0时23（三）非齐次方程的解（强迫振动）24解：

8、令u（x，t）=u1（x，t）+u2（x，t)25u1（x，t）和u2（x，t)分别满足和（零输入）（零状态）u1（x，t）可直接由达朗贝尔公式求得；u2（x，t）由冲量原理（齐次化原理）求解；冲量定理法的基本思想将持续作用力看成前后