2017版中考数学（广西地区）总复习 第二篇 专题聚焦 专题跟踪突破11二次函数综合题.doc

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1、专题跟踪突破11　二次函数综合题(针对广西中考压轴题)1．(2016·百色)正方形OABC的边长为4，对角线相交于点P，抛物线L经过O，P，A三点，点E是正方形内的抛物线上的动点．(1)建立适当的平面直角坐标系，①直接写出O，P，A三点坐标；②求抛物线L的解析式；(2)求△OAE与△OCE面积之和的最大值．解：(1)以O点为原点，线段OA所在的直线为x轴，线段OC所在的直线为y轴建立直角坐标系，如图所示．①∵正方形OABC的边长为4，对角线相交于点P，∴点O的坐标为(0，0)，点A的坐标为(4，0)，点P的坐标为(2，2)．②设抛物线L的解析式为y＝ax2＋bx＋c，∵抛物线L经过O，P，

2、A三点，∴有解得，∴抛物线L的解析式为y＝－x2＋2x　(2)∵点E是正方形内的抛物线上的动点，∴设点E的坐标为(m，－m2＋2m)(0＜m＜4)，∴S△OAE＋S△OCE＝OA·yE＋OC·xE＝－m2＋4m＋2m＝－(m－3)2＋9，∴当m＝3时，△OAE与△OCE面积之和最大，最大值为92．(2016·河池)在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C，顶点为D.(1)请直接写出点A，C，D的坐标；(2)如图1，在x轴上找一点E，使得△CDE的周长最小，求点E的坐标；(3)如图2，F为直线AC上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得

3、△AFP为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)A(－3，0)，C(0，3)，D(－1，4)　(2)如解图甲，作点C关于x轴的对称点为点M，则M(0，－3)，连接DM与x轴的交点即为点E，连接CE，此时△CDE的周长最小．设DM的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，将D(－1，4)，M(0，－3)代入y＝kx＋b，得解得∴直线DM的解析式为：y＝－7x－3，令y＝0，则y＝－7x－3＝0，解得x＝－，∴点E的坐标为(－，0)　(3)存在．由(1)知，OA＝OC＝3，∠AOC＝90°，∴∠CAB＝45°，如解图乙，①当∠AFP＝90°时，即∠AF1P1＝90°，

4、点P1既在x轴上，又在抛物线上，则点P1与点B重合，点P1的坐标为(1，0)；②当∠FAP＝90°时，即∠F2AP2＝90°，则∠P2AO＝45°，设AP2与y轴的交点为点N，∴OA＝ON＝3，则N(0，－3)，易求AP2的解析式为：y＝－x－3，联立方程组解得或∵A(－3，0)，∴P2(2，－5)；③当∠APF＝90°时，即∠AP3F3＝90°，点P3既在x轴上，又在抛物线上，则点P3与点B重合，点P3的坐标为(1，0)．综上所述，抛物线上存在点P，使得△AFP为等腰直角三角形，其坐标为P(1，0)或P(2，－5)3．(2016·桂林)如图，已知开口向下的抛物线y1＝ax2－2ax＋1过

5、点A(m，1)，与y轴交于点C，顶点为B，将抛物线y1绕点C旋转180°后得到抛物线y2，点A，B的对应点分别为点D，E.(1)直接写出点A，C，D的坐标；(2)当四边形ABDE是矩形时，求a的值及抛物线y2的解析式；(3)在(2)的条件下，连接DC，线段DC上的动点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度运动到点C停止，在点P运动的过程中，过点P作直线l⊥x轴，将矩形ABDE沿直线l折叠，设矩形折叠后相互重合部分面积为S平方单位，点P的运动时间为t秒，求S与t的函数关系．解：(1)由题意得：将A(m，1)代入y1＝ax2－2ax＋1得：am2－2am＋1＝1，解得m1＝2，m2＝0(舍)，

6、∴A(2，1)，C(0，1)，D(－2，1)　(2)如图1，由(1)知：B(1，1－a)，过点B作BM⊥y轴，若四边形ABDE为矩形，则BC＝CD，∴BM2＋CM2＝BC2＝CD2，∴12＋(－a)2＝22，∴a＝±，∵y1抛物线开口向下，∴a＝－，∵y2由y1绕点C旋转180°得到，则顶点E(－1，1－)，∴设y2＝k(x＋1)2＋1－，则k＝，∴y2＝x2＋2x＋1　(3)如图1，当0≤t≤1时，则DP＝t，构建直角△BQD，得BQ＝，DQ＝3，则BD＝2，∴∠BDQ＝30°，∴PH＝t，PG＝t，∴S＝(PG＋PH)×DP＝t2；如图2，当1＜t≤2时，EG＝E′G＝(t－1)，E′

7、F＝2(t－1)，S不重合＝(t－1)2，S＝S1＋S2－S不重合＝－t2＋t－；综上所述：S＝t2(0≤t≤1)或S＝－t2＋t－(1＜t≤2)4．(2016·南宁)如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A(1，1)，且与直线y＝x－2交于B，C两点．(1)求抛物线的解析式及点C的坐标；(2)求证：△ABC是直角三角形；(3)若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形