xt4实变函数与泛函分析 习题.pdf

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1、习题四在以下各题中,除题目中已有说明的外,可测函数的积分都是关于给定的测度空间(X,F,µ)的.0,x<1,1.设F(x)=x2,x≥1.µF是由F导出的L-S测度.计算∫(0,+∞)fdµF.其中f(x)=aI+bI+cI.(−∞,1){1}(1,2]2.设A,L,A是[0,1]中的n个Lebesgue可测集.若每个x∈[0,1]至少于这n1nq个集中的q个,则必存在某个A,使得m(A)≥.iin3.设f是[0,2π]上的L可测函数并且2π∫f(x)ln(1+f(x))dx<+∞.0证明f是[0,2π]上的L可积函数.

2、4.设µ和µ是可测空间(X,F)上的两个测度.证明12(i).µ+µ是(X,F)上的测度.12(ii).若f关于µ和µ都可积,则f关于µ+µ可积,并且1212fd(µ+µ)=fdµ+fdµ.∫12∫1∫25.设f为可测函数.若存在正测度集A,使得当x∈A时,f(x)>0,则∫Afdµ>0.6.证明:(i).设f为可测函数.若对每个可测集A,均有∫Afdx≥0,则f≥0a.e.(ii).设f和g是可积函数并且对任意可测集A,成立∫fdµ=∫gdµ.则f=ga.e..AA7.设(f)为可积函数列,f为可测函数.若limf−fdµ=

3、0.则f可积.n→∞∫nnµ8.设f,f(n≥1)为可测函数.若limf−fdµ=0,则f→f.n→∞∫nnn9.设f为有限测度空间上的可测函数.则f可积的充要条件是对任给的134ε>0,存在k>0,使得∫{f≥k}fdµ<ε.提示:利用积分的绝对连续性.10.设f为可测函数.证明f可积的必有条件是∞∑nµ({n≤f

4、+∞.n=113.设f为有限测度空间上的可测函数.则f可积的充要条件是∞nn∑2µ({f≥2})<+∞.n=014.设f为有限测度空间上的可测函数,并且存在M>0和α>1,使得Mµ({f≥λ})≤,λ>0.αλ证明f可积.15.设f,f(n≥1)为可积函数.若对每个可测集A均有nfdµ≤fdµ,n≥1,∫An∫An+1a.e.并且limfdµ=fdµ,则f→f.∫n∫nn→+∞AAa.e.16.设f,f(n≥1)为可测函数.f→f.若supfdµ<+∞,则f可积.nn∫nn≥1a.e.17.设f,f(n≥1)为可测函数

5、,f→f.若存在可积函数g,使得nnf≤ga.e.(n≥1),则limf−fdµ=0.n→+∞∫nn∞∞18.设{fn}是可测函数列,并且∑∫fndµ<+∞.则∑fn可积,并且n=1n=1∞∞∫∑fndµ=∑∫fndµ.n=1n=1µ19.设f,f(n≥1)为非负可测函数列,f→f.证明nnfdµ≤limfdµ.∫∫nn→∞135∞∞20.设级数∑an绝对收敛.证明∑an可以表示成(N,P(N),µ)上一个可积函数n=1n=1的积分.a.e.21.设f,f(n≥1)为非负可积函数,满足f→f,nnlimfdµ=fd

6、µ,.证明:对任意可测集E⊂X,成立∫n∫n→+∞limfdµ=fdµ.∫n∫n→+∞EE提示:注意0≤f−f+f−f≤2f(n≥1).nn22.举例说明在Fatou引理中,不等号可能成立.∞23.设{An}是一列可测集并且∑µ(An)<+∞.证明对几乎所有x∈X,x只属n=1于有限个A.n24.设f是有限测度空间X上的可测函数,c≤f(x)≤d,x∈X.对任意n≥1,设c=y

7、mann积分的定义比较).fn25.设{f}是有限测度空间(X,F,µ)上的可测函数列,证明dµ→0n∫1+fnµ当且仅当f→0.n26.设f是[0,+∞)上的L可积函数,并且f在[0,+∞)上一致连续.证明f(x)→0(x→+∞).27.设f是[0,1]上的L可积函数.若对任意c(0≤c≤1),总有∫cfdx=0,则f=0a.e.[0,]128.设f在[a,b]上Riemann可积,g是R上的连续函数.证明g(f(x))在[a,b]上Riemann可积.−x29.证明f(x)=e在[0,+∞)上L可积,并且求其L积分.3

8、0.证明Riemann函数1=mn若xn,m,n互质,f(x)=0若x是无理数.136在[0,1]上是Riemann可积的.sinx31.当α>0为何值时,函数f(x)=在[1,+∞)上是L可积的.αx232.设K为[0,1]中的Cantor集.当x∈K时定义f(x