我所理解的线性空间.doc

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1、我所理解的线性空间理论线性空间是为了解决实际问题而引入的，它是某一类事物从量的方面的一个抽象，即把实际问题看作向量空间，进而通过研究向量空间来解决实际问题．简单的说，线性空间是这样一种集合，其中任意两元素相加可构成此集合内的另一元素，任意元素与任意数（可以是实数也可以是复数，也可以是任意给定域中的元素）相乘后得到此集合内的另一元素。且有这样的定义，设V是一个非空集合，F是一个数域，在集合V的元素之间定义一种代数运算，叫做加法；这就是说，给出了一个法则，对于V中任意两个元素x和y，在V中都有唯一的一个元素z与他们对应，称为x与y的和，记为

2、z=x+y。在数域F与集合V的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法；这就是说，对于数域F中任一数k与V中任一元素x，在V中都有唯一的一个元素y与他们对应，称为k与x的数量乘积，记为y=kx。如果加法与乘法还满足下述规则，那么V称为数域F上的线性空间。在讨论线性空间前，首先要说说空间。从拓扑空间开始，一步步往上加定义，可以形成很多空间。线形空间其实还是比较初级的，如果在里面定义了范数，就成了赋范线性空间。赋范线性空间满足完备性，就成了巴那赫空间；赋范线性空间中定义角度，就有了内积空间，内积空间再满足完备性，就得到希尔伯特空间。而我们一般

3、人最熟悉的空间，毫无疑问就是我们生活在其中的的三维空间，从数学上说，这是一个三维的欧几里德空间，这个三维的空间：1.由很多（实际上是无穷多个）位置点组成；2.这些点之间存在相对的关系；3.可以在空间中定义长度、角度；4.这个空间可以容纳运动。上面的这些性质中，最最关键的是第4条。因为只有第4条是空间的本质，也就是说，容纳运动是空间的本质特征。下面我们来看看线性空间。线性空间中的运动，被称为线性变换。也就是说，你从线性空间中的一个点运动到任意的另外一个点，都可以通过一个线性变化来完成。那么，线性变换如何表示呢？很有意思，在线性空间中，当你

4、选定一组基之后，不仅可以用一个向量来描述空间中的任何一个对象，而且可以用矩阵来描述该空间中的任何一个运动（变换）。而使某个对象发生对应运动的方法，就是用代表那个运动的矩阵，乘以代表那个对象的向量。线性空间是二维、三维几何空间及n维向量空间的推广，它在理论上具有高度的概括性.简而言之，在线性空间中选定基之后，向量刻画对象，矩阵刻画对象的运动，用矩阵与向量的乘法施加运动。矩阵的本质是运动的描述。并且很奇妙的是，向量本身也可以看成是nx1矩阵。一个空间中的对象和运动竟然可以用相类同的方式表示。能说这是巧合吗？如果是巧合的话，那可真是幸运的巧合

5、！可以说，线性代数中大多数奇妙的性质，均与这个巧合有直接的关系。线性空间的理论如海洋般浩大深邃，自然不可能凭借上述文字而完全表达，我只是在某些方面对此作出诠释，以此来进一步的了解与热爱线性空间理论。