分析法与综合法.doc

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1、分析法与综合法一、分析法与综合法的定义1、定义　所谓分析法，是指“执果索因”的思维方法，即从结论出发，不断地去寻找需知，直至达到已知事实为止的方法．　　分析法的思维全貌可概括为下面形式：　　“结论需知需知…已知”．　　所谓综合法，是指“由因导果”的思维方法，即从已知条件出发，不断地展开思考，去探索结论的方法．　　综合法的思维过程的全貌可概括为下面形式：　　“已知可知可知…结论”．二、例题赏析例1、已知：，且，求证：．　　证明一：（分析法）要证，　　即证，　　因为，　　故只需证，　　即证，　　即证，　

2、　因为，　　所以成立，　　所以成立．　证明二：（综合法）由，知，即，则．　　又，则，即．　　实际证题过程中，分析法与综合法往往是结合起来运用的，把分析法和综合法孤立起来运用是比较少的．问题仅在于，在构建命题的证明路径时，有时分析法居主导地位，综合法伴随着它；有时却刚好相反，综合法居主导地位，而分析法伴随着它．　　特别是，对于那些较为复杂的数学命题，不论是从“已知”推向“未知”，或者是由“未知”靠拢“已知”，都有一个比较长的过程，单靠分析法或综合法显得较为困难．为保证探索方向准确及过程快捷，人们又常常

3、把分析法与综合法两者并列起来使用，即常采取同时从已知和结论出发，寻找问题的一个中间目标．从已知到中间目标运用综合法思索，而由结论到中间目标运用分析法思索，以中间目标为桥梁沟通已知与结论，构建出证明的有效路径．上面所言的思维模式可概括为如下图所示：　　综合法与分析法是逻辑推理的思维方法，它对于培养思维的严谨性极为有用．把分析法与综合法两者并列起来进行思考，寻求问题的解答途径方式，就是人们通常所说的分析、综合法．　　下面举一具体例子加以说明：例2、若是不全相等的正数，求证：．　　证明：要证只需证，　　只

4、需证．　　但是，，，．　　且上述三式中的等号不全成立，所以．　　因此．注：这个证明中的前半部分用的是分析法，后半部分用的是综合法．例3、例1如图1，在四面体中，，，求证：平面平面．分析：要证面面垂直需通过线面垂直来实现，可是哪一条直线是我们所需要的与平面垂直的直线呢？我们假设两平面垂直已经知道，则根据两平面垂直的性质定理，在平面内作，则平面，所以即为我们所要寻找的直线．要证明平面，除了已知的之外，还需要在平面内找一条直线与垂直，哪一条呢？假设已知知道平面，则与平面内的任意直线均垂直，即必有，但这两个

5、垂直的证明较难入手，还有其他的直线吗？连结呢？假设已经知道平面，则必有．通过计算可得到，原题得证．证明：设的中点为，连结，因为，所以；设，因为，所以，所以，即，又已知，所以平面，又平面，所以平面平面．例4、如图，在长方体中，证明：平面平面．分析：要证明两平面平行，需在一平面内寻找两条相交直线与另一平面平行．假设两平面平行已知，则一个平面内的任意直线均与另一个平面平行，所以有均与平面平行，选择任意两条均可，不妨选择．要想证明与平面平行，需在平面内寻找两条直线分别与平行，假设与平面平行已知，则根据线面平

6、行的性质定理，过的平面与平面相交所得的交线与平行；过的平面与平面相交所得的交线与平行．即为所要寻找的直线．从而易知分别与平行，原题得证．证明：因为为长方体，所以有，即四边形为平行四边形，从而有，又已知平面平面，进而有平面；同理有，从而有平面；又已知，所以有平面平面．从上面的两例可以看出，分析法的基本思路是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件．同学们可以在学习过程中，沿着这样的解题思路，亲自体验一下分析法在立几证明中的妙用.例4、设A、B、C是双曲线xy=1

7、上的三点，求证：△ABC的垂心H必在此双曲线上．分析：如图1－1，设H的坐标为(x0，y0)，要证H在此双曲线上，即证x0y0=1．而H是两条高AH与BH的交点，因此需求直线AH、BH的方程，进而从所得方程组中设法推出x0y0=1．证明:如图1－1，由已知可设A、B、C的坐标分别为设点H的坐标为(x0，y0)，则由①式左乘②式右及①式右乘②式左，得化简可得x0y0(α-β)=α-β．∵α≠β，∴x0y0=1．故H点必在双曲线xy=1上．解说:本证法的思考过程中，从分析法入手，得出证点H在双曲线xy=

8、1上就是证x0y0=1．这为综合法证明此题指明了目标．在用综合法证明的过程中，牢牢抓住这个目标，去寻找x0、y0的关系式，用式子①与②相乘，巧妙地消去参数α、β、γ，得到x0y0=1．从而避免了解方程的麻烦，提高了解题速度．练习：1、设的最小值是（）A．B．C．－3D．2、．在中，，则一定是（　　）Ａ．锐角三角形Ｂ．直角三角形Ｃ．钝角三角形Ｄ．不确定3．观察式子：，，，，则可归纳出式子为（　　）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．4、已知实数，且函数有最小值，则=__________。5