2012高考数学 考前冲刺第三部分专题十四 极限.doc

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1、2012考前冲刺数学第三部分【高考预测】1.数学归纳法2.数列的极限3.函数的极限4.函数的连续性5.数学归纳法在数列中的应用6.数列的极限7.函数的极限8.函数的连续性【易错点点睛】易错点1数学归纳法1．（2012精选模拟）已知a>0,数列{an}满足a1=a,an+1=a+,n=1,2,….(Ⅰ)已知数列{an}极限存在且大于零，求A=(将A用a表示)；(Ⅱ)设bn=an-A,n=1,2…,证明：bn+1=-(Ⅲ)若

2、bn

3、≤,对n=1,2…都成立，求a的取值范围。【错误解答】(Ⅰ)由，存在，且A=（A>0）,对aa+1

4、=a+两边取极限得，A=a+.解得A=又A>0,∴A=(Ⅱ)由an+bn+A,an+1=a+得bn+1+A=a+.∴即对n=1,2…都成立。(Ⅲ)∵对n=1,2,…

5、bn

6、≤，则取n=1时，,得∴,解得。【错解分析】第Ⅲ问中以特值代替一般，而且不知{bn}数列的增减性，更不能以b1取代bn.25用心爱心专心【正确解答】(Ⅰ)(Ⅱ)同上。(Ⅲ)令

7、b1

8、≤,得∴∴现证明当时，对n=1,2,…都成立。(i)当n=1时结论成立（已验证）。2．(2012精选模拟题)已知数列{an}中,a1=3,前n项和Sn满足条件Sn=6-2an+

9、1.计算a2、a3、a4,然后猜想an的表达式。并证明你的结论。【错误解答】当n≥2时，an=Sn-Sn-1=6-2an+1-(6-2an)=2an-2an+1,即an+1=an.因为a1=3,所以a2=a1=,a3=a2=,a4=a3=由此猜想an=当n=1时，a1==3,结论成立；假设当n=k(k≥1)时结论成立，即ak=成立，则当n=k+1时，因为ak+1=ak，所以又a1=3,所以{an}是首项为3公比为的等比数列。由此得ak+1=3·（）k+1-1=,这表明，当n=k+1时结论也成立。25用心爱心专心由①、②可知，

10、猜想对任意n∈N*都成立。【错解分析】①应由a1=S1=6-2a2,求得a2=,再由an+1=an(n≥2)求得a3=,a4=,进而由此猜想an=(n∈E*).②用数学归纳法证明猜想时，没有利用归纳假设，而是根据等比列的通项公式求得ak+1=.这种证明不属于数学归纳法。【正确解答】由a1=S1=6-2a2,a1=3,得a2=当n≥2时，an=Sn-Sn-1=6-2an+1-(6-2an)=2an-2an+1,a1=b(b>0),an≤,n=2,3,4,….(Ⅰ)证明：an≤，n=2,3,4,5,…;(Ⅱ)猜测数列{an}是否

11、有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；（Ⅲ）试确定一个正整数N，使得当n>N时，对任意b>0,都有an<.【错误解答】（1）利用数学归纳法证明不等式：1）当a=3时，知不等式成立。2）假设n=k(k≤3)时，ak≤则25用心爱心专心即n=k+1时，不等式成立。(Ⅱ)有极限，且(Ⅲ)解得n>10=1024.取N=1024,有an<.【错解分析】（1）在运用数学归纳证明时，第n-k+1步时，一定要运用归纳假设进行不等式放缩与转化，不能去拼凑。【正确解答】（Ⅰ）证法1：∵当n≥2时，0

12、由已知不等式知，当n≥3时有，∵a110,n>210=1024,故取N=1024，可使当n>N时,都有an<【特别提醒】1．一般与自然数相关的命题，或有关

13、代数恒等式的证明，三角恒等式、三角不等式、整除性、与数列有关的问题和有关几何问题都可用数学归纳法。2．运用数学归纳法证明时，第二步是关键、必须用到归纳假设，否则就不是数学归纳法的证明。【变式训练】1用数学归纳法证明“(n+1)(n+2)…(n+n)=2n·1·3·5…(2n-1)(n∈N+)”时，从n=k到n=k+1,给等式的左边需要增乘的代数式是（）答案：C解析：略2曲线C：xy=1(x>0)与直线l:y=x相交于A1,作A1B1⊥l交x轴于B1,作B1A2∥l交曲线C于A2…依此类推。（1）求点A1、A2、A3和B1、B

14、2、B3的坐标；答案：A1(1,1)、A2（+1,-1）、A3（+,-）、B1（2,0）、B2（2,0）、B3（2,0）（2）猜想An的坐标，并加以证明；答案：An(,证明略.（3）答案：设An(由题图：A1（1，1），B1（2，0）∵a1=1,b1=2且∴，分子分母乘以（）25用心爱心专