2010高三数学高考专题复习系列导学案：不等式-不等式证明（一）.doc

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1、第3课时不等式证明（一）基础过关1．比较法是证明不等式的一个最基本的方法，分比差、比商两种形式．(1)作差比较法，它的依据是：它的基本步骤：作差——变形——判断，差的变形的主要方法有配方法，分解因式法，分子有理化等．(2)作商比较法，它的依据是：若>0，>0，则它的基本步骤是：作商——变形——判断商与1的大小．它在证明幂、指数不等式中经常用到．2．综合法：综合法证题的指导思想是“由因导果”，即从已知条件或基本不等式出发，利用不等式的性质，推出要证明的结论．3．分析法：分析法证题的指导思想是“由果索因”，即从求

2、证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够确定这些充分条件都已具备，那么就可以判定所要证的不等式成立．典型例题例1.已知，求证：证法1：＝＝＝∵>0，>0，∴即用心爱心专心证法2：＝1＋∴故原命题成立，证毕．变式训练1：已知a、b、x、y∈R+且＞，x＞y.求证：＞．解：证法一：(作差比较法)∵－＝，又＞且a、b∈R+，∴b＞a＞0.又x＞y＞0，∴bx＞ay.∴＞0，即＞.证法二：(分析法)∵x、y、a、b∈R+，∴要证＞，只需证明x(y+b)

3、＞y(x+a)，即证xb＞ya.由＞＞0，∴b＞a＞0.又x＞y＞0，知xb＞ya显然成立.故原不等式成立.例2.已知a、b∈R+，求证：证明：∵，因此要证明原不等式成立，则只要证由于所以从而原不等式成立．变式训练2：已知a、b、cR，求证：证明：左边－右边用心爱心专心＝∴例3.已知△ABC的外接圆半径R＝1，，、、是三角形的三边，令，．求证：证明：又∵R＝1，∴∴∴但的条件是，此时与已知矛盾．∴变式训练3：若为△ABC的三条边，且，则（）A．B．C．D．答案:D．解析：，又∵∴。例4.设二次函数，方程的两个

4、根、满足．(1)当x∈(0，x1)时，证明：x

5、与内分别有一实根。故方程在内有两个实根.归纳小结1．比较法是证明不等式的一个最基本的方法，而又以作差比较最为常见．作差比较的关键在于作差后如何变形来达到判断差值符号之目的，变形的方向主要是因式分解和配方．2．综合法证明不等式要找出条件和结论之间的内在联系，为此要着力分析已知与求证之间，不等式左右两端的差异和联系，合理进行变换，去异存同，恰当选择已知不等式，找到证题的突破口．3．分析法是“执果索因”重在对命题成立条件的探索，寻求不等式成立的充分条件，因此有时须先对原不等式化简．常用的方法有：平方，合并，有理化去

6、分母等．但要注意所有这些变形必须能够逆推，书写格式要严谨规范．4．分析法和综合法是对立统一的两个方法．在不等式的证明中，我们常用分析法探索证明的途径后，用综合法的形式写出证明过程．这种先分析后综合的思路具有一般性，是解决数学问题的一种重要数学思想．用心爱心专心