李雅普诺夫方法在线性系统的应用.doc

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1、目录摘　要1关键词1ABSTRACT1KEYWORDS1前言11．预备知识21.1雅普诺夫第一法51.2雅普诺夫第二法21.3线性系统的特征22．雅普诺夫意义下的稳定性22.1稳定与一致稳定32.2渐进稳定和一致渐近稳定32.3不稳定33．雅普诺夫稳定性定理34．线性系统的雅普诺夫稳定性分析5小结8参考文献8雅普诺夫方法在线性系统中的应用摘　要：在判定线性系统稳定性时，雅普诺夫方法的优点在于无须求解系统方程的解，就能对系统的稳定性进行分析．文章介绍了雅普诺夫稳定性分析在线性系统中的应用．关键词：正定矩阵；标量函数；渐近稳定ApplicationofLyapuno

2、v’smethodinlinearsystemAbstract:Indeterminingthestabilityoflinearsystems,theadvantagesoftheLyapunov’smethodiswithoutsolvingthesystemequation,whichcananalyzethestabilityofthesystems.weintroducetheapplicationinlinearsystemanalysisinLyapunovstabilityinthepaper.Keywords:positivedefinitem

3、atrix;Scalarfunction;asymptoticstability前言自动控制系统最重要的特性之一是稳定性．系统的稳定性，表示在遭受外界扰动偏离原来的平衡状态，而在扰动消失后，系统自身仍有能力恢复到原来平衡状态的一种“顽性”．本文中，我们把研究对象集中到线性系统上，来讨论线性系统的稳定性问题．对于这个问题的讨论，都是建立在雅普诺意义的稳定性的基本概念之上的．１．预备知识1.1雅普诺夫第一法雅普诺夫第一法又称间接法，它的基本思路是通过系统状态方程的解来判别系统的稳定性．对于线性定常系统，只需解出特征方程的解即可作出稳定性判断．1.2雅普诺夫第二法雅普

4、诺夫第二法又称直接法，是通过构造一个类似于“能量”的雅普诺夫函数，并分析它和其一次导数的定号性，直接对系统平衡状态的稳定性作出判断．1.3线性系统的特征线性系统的特征，现以线性持续系统为例来说明．设系统输入为与时，其输出分别为与，即　(1)　(2)对于线性系统，有　(3)所以线性系统具有叠加性．若有个相同的输入，即(4)对于线性系统有　　　(5)　比较式（1）与式（5）可知，为比例因子，故线性系统具有比例性．有以上分析可知，线性系统是同时具有叠加性与比例性的系统．2.雅普诺夫意义下的稳定性研究系统的稳定性问题，实质上是研究系统平衡状态的情况．一般来说，系统可以描

5、述为式中为维状态向量．当在任意时间都能满足(6)时，称为系统的平衡状态．反之满足式(6)的一切值均是系统的平衡点，对于线性定常系统，为非奇异矩阵，是其唯一的平衡状态；如果是奇异的，则式(6)有无穷多解，系统有无穷多个平衡状态．2.1稳定与一致稳定设为的一个孤立平衡状态．如果对球域或任意正实数,都可找到另一个正实数或球域，当初始状态满足时，对有，则此系统为雅普诺夫意义下的稳定．如果与初始时刻无关，则称平衡状态为一致稳定．2.2渐进稳定和一致渐近稳定设为系统方程的孤立平衡状态，如果它是稳定的，且充分靠近的任一初始状态都有或，即收敛用于平衡状态，则称平衡状态为渐近稳定

6、．如果与初始时刻无关，则称平衡状态为一致稳定．如果对于状态空间中的任意点，不管初始偏差有多大，都有渐进稳定特性．即对所有点都成立，称平衡状态为大围渐近稳定．可见，这样的系统只能有一个平衡状态．由于线性定常系统有唯一解，所以线性定常系统是渐近稳定的，则它一定也是大围渐近稳定的．2.3不稳定如果平衡状态既不是渐近稳定的，也不是稳定的，当并无限大时，从出发的状态轨线最终超越域，则称平衡状态为不稳定的．3．雅普诺夫稳定性定理（1）设系统的状态方程为式中，如果有连续一阶偏导数的标量函数存在，并且满足以下条件：是正定的；是负定的．则在原点处的平衡状态是渐近稳定的．如果，有，

7、则在原点处的平衡状态是大围渐近稳定的．（2）设系统的状态方程为式中．如果存在一标量函数，它具有连续的一阶偏导数，且满足下列条件：是正定的；是半负定的；对任意和任意,在时不恒等于零．则在系统原点处的平衡状态是渐近稳定的．如果还有时，，则为大围渐近稳定．式中表示时从出发的轨线．（3）设系统方程为式中，．如果存在一个标量函数，它具有连续的一阶导数，且满足下列条件：是正定的；是半负定的，但在某一值恒为零．则系统在原点处的平衡状态在雅普诺夫定义下是稳定的，但非渐近稳定．（4）设系统的状态方程为式中，．如果存在一个标量函数，它具有连续的一阶偏导数，且满足下列条件：在原点的某

8、一邻域是正定的；在同样的