线性系统李雅普诺夫稳定性分析

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1、第一章矩阵矩阵是线性代数的一个最基本的概念，是线性代数的研究对象和重要工具，许多理论问题和实际问题都可以用矩阵表示。1.1矩阵的概念1.2矩阵的运算1.3可逆矩阵1.4矩阵的初等变换和初等方阵§1矩阵的概念背景：数的发展：自然数整数有理数实数复数对于这些集合里的数,通常是研究它们的一些运算,例如加、减、乘、除等,这些运算的性质通常称为数的代数性质。下面引入一个一般的概念。定义1、1设F是复数集C的一个子集合，如果F满足下列两个条件：（1）0、1∈F（2）如果，则都属于F，且当时，则称F构成一个数域。例如:有理数集、实数集、复数集都构成数域。整数集不构

2、成数域。因此,要证明一个数集是否构成一个数域,只要看该集合是否对加、减、乘、除四种运算都封闭即可。数域有无数多个.(数域→数的集合)任何数域都包含有理数域换句话说,有理数域是最小的数域.在本书中，主要涉及的数域是实数域R，若没有特殊说明，各章均在实数域上进行讨论。1、实际例子例1设某种物资，如煤炭等，有个产地，，个销地，，如果以aij表示由第i个产地销往第j个销地的数量，则这类物资的调运方案，可用一个数表表示如下：矩阵设F是一个数域，由F中的m×n个数aij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)有次序地排成m行n列的矩形数表称为一个m行n列的矩阵

3、，简记(aij)m×n，一般用大写字母A，B，…表示，m行n列的矩阵A也记为Am×n，构成矩阵A的每个数称为矩阵A的元素，而aij表示矩阵第i行、第j列的元素。定义２．２注意：（１）如果矩阵A的元素aij全为实(复)数，就称A为实(复)矩阵。一般的，仅讨论实矩阵。（２）如果矩阵的行数等于列数，　　　　则称矩阵为阶矩阵或阶方阵，记做（3）一阶矩阵就是一个数。主对角线付对角线只有一列的矩阵称为列矩阵，两个矩阵的行数相等，列数也相等，就称它们是同型矩阵。几种比较特殊的矩阵：只有一行的矩阵称为行矩阵，矩阵相等：矩阵与是同型矩阵，且称为上三角矩阵形如的方阵，元

4、素都是零的矩阵称为零矩阵，记作O。有多少个？称为下三角矩阵形如的方阵，●形如方阵叫做n阶单位矩阵En。例2如果变量y1,y2,...,ym可由变量x1,x2,...,xn线性表示,即称为由变量x1,x2,...,xn到变量y1,y2,...,ym的变换为线性变换。线性变换由个元函数组成，每个函数都是变量的一次幂，故而称之为线性变换。称为线性变换的系数矩阵。注：线性变换和系数矩阵是一一对应的。对应n阶系数矩阵为如线性变换定义将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵,每个小矩阵称为A的子块,以子块为元素的矩阵称为分块矩阵。矩阵的分块同一列的子块的列数相

5、同；同一行的子块的行数相同。下面列举三种常用的分块形式：设A＝,若令，则A=就是分块矩阵，其中表示二阶单位矩阵，是二阶零矩阵．尽量多的分出零块和单位块再如：00怎么样就成为对角矩阵？设n阶方阵A的分块矩阵为除主对角线上的子块为非零子块外,其余子块都为零矩阵,且Ai(i=1,2,…,m)为方阵,则A称为分块对角矩阵(或准对角矩阵).（按列分块）（按行分块）§２矩阵的运算一.矩阵的加法定义设有两个mn矩阵A=(aij),B=(bij),那么A与B的和记为C=A+B,规定为注意:只有当两个矩阵同型时,才能进行加法运算。加法满足运算规律:(1)A+B=B+

6、A;(交换律)(2)(A+B)+C=A+(B+C).(结合律)类似的，也可以定义矩阵的减法。是的负矩阵，若，则，二.数与矩阵相乘定义数与矩阵A的乘积记作A,规定为数与矩阵相乘满足运算规律:例3设求A－2B解：三.矩阵与矩阵相乘引例设变量到变量的线性变换为变量到变量的线性变换为那么，变量到变量的线性变换应为即：定义与的乘积为按上述方法定义的矩阵乘法有实际意义。由此推广得到一般的定义：？？定义设A=(aij)ms，B=(bij)sn，那么规定矩阵A与B的乘积是C=(cij)mn,其中并把此乘积记作C=AB。行矩阵与列矩阵相乘注意：只有当前面的矩

7、阵（左矩阵）的列数与后面的矩阵（右矩阵）的行数相等时，两个矩阵才能相乘。乘积C=AB的行数为A的行数，列数为B的列数。考虑行矩阵和列矩阵相乘的结果是什么？例3.线性变换的矩阵表示设线性变换，，，，则记设方程组为例4.线性方程组的矩阵表示其中称为由线性方程组所确定的系数矩阵，则方程组可以表示为：简记为AX＝B例5123无意义一般地，矩阵乘法不满足交换律，即：1.如果，，则有意义，当时，无意义。2.即使，，则是m阶方阵，而是n阶方阵；3.如果，都是n阶方阵，如上例3，，都是n阶的，但注意两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵。例6设特别的，当AB=BA时，则称A

8、与B可交换。（1）（2）（3）则例7设矩阵乘法不满足消去律。如下例：比较：在数的乘法中，若ab=0a=0或