正弦定理和余弦定理教学设计.doc

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1、第七节　正弦定理和余弦定理(见学生用书第63页)考纲传真　　掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容＝＝＝2Ra2＝b2＋c2－2bc·cos_A，b2＝c2＋a2－2ca·cos_B，c2＝a2＋b2－2ab·cosC.变形形式①a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；②a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；③＝.cosA＝；cosB＝；cosC＝.解决问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其

2、中一边的对角，求另一边和其他两角.①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.2.三角形常用面积公式(1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)；(2)S＝absinC＝acsin_B＝bcsin_A．(3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．,1．在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的什么条件？“A＞B”是“cosA＜cosB”的什么条件？【提示】　在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔＞⇔sinA＞sinB，∴A＞B是sinA＞sinB的充要条件，易知A＞B是cosA＜cosB

3、的充要条件．2．如何利用余弦定理来判定三角形中角A为锐角、直角、钝角？【提示】　应判断b2＋c2－a2与0的关系；当b2＋c2－a2＞0时，A为锐角；当b2＋c2－a2＝0时，A为直角；当b2＋c2－a2＜0时，A为钝角．1．(人教A版教材习题改编)已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.若a＝c＝＋，且A＝75°，则b＝(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．2B．4＋2C．4－2D.－【解析】　在△ABC中，易知B＝30°，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos30°＝4.∴b

4、＝2.【答案】　A2．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB＝(　　)A.B.C．－D．－【解析】　由正弦定理，得sinB＝＝.∵a＞b，A＝60°，∴B＜60°，cosB＝＝.【答案】　A3．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形有(　　)A．无解B．两解C．一解D．解的个数不确定【解析】　∵bsinA＝24sin45°＝12＜18，∴bsinA＜a＜b，故此三角形有两解．【答案】　B4．(2012·福建高考)在△ABC中，已知∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，BC

5、＝，则AC＝________．【解析】　根据正弦定理，得＝，故AC＝＝＝＝.【答案】　5．△ABC中，B＝120°，AC＝7，AB＝5，则△ABC的面积为________．【解析】　由余弦定理知AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos120°，即49＝25＋BC2＋5BC，解得BC＝3.故S△ABC＝AB·BCsin120°＝×5×3×＝.【答案】　(见学生用书第63页)利用正、余弦定理解三角形　(2013·大连模拟)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝

6、a.(1)求；(2)若c2＝b2＋a2，求B.【思路点拨】　(1)在已知等式中，利用正弦定理消去sinB，再化简求值；(2)由条件结构特征，联想到余弦定理，求cosB，进而求出角B.【尝试解答】　(1)由正弦定理，得asinB＝bsinA，又asinAsinB＋bcos2A＝a，∴bsin2A＋bcos2A＝a，即b＝a，因此＝.(2)由c2＝b2＋a2及余弦定理，得cosB＝＝，(*)又由(1)知，b＝a，∴b2＝2a2，因此c2＝(2＋)a2，c＝a＝a.代入(*)式，得cosB＝，又0＜B＜π，所以B

7、＝.,1．运用正弦定理和余弦定理求解三角形时，要分清条件和目标．若已知两边与夹角，则用余弦定理；若已知两角和一边，则用正弦定理．2．在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用．(2012·浙江高考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA＝acosB.(1)求角B的大小；(2)若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值．【解】　(1)由bsinA＝acosB及正弦定理＝，得sinB

8、＝cosB.所以tanB＝，所以B＝.(2)由sinC＝2sinA及＝，得c＝2a.由b＝3及余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得9＝a2＋c2－ac.所以a＝，c＝2.判定三角形的形状　(2013·合肥模拟)已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝(4，－1)，n＝(cos2，cos2A)，且m·n＝.(1)求角A的大小；(2)若b＋c＝2a＝2，试判断△ABC的形状．【审题视