充满血和泪的无理数.doc

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1、充满血与泪的无理数公元前585年到公元前400年，是古希腊的毕达哥拉斯学派的鼎盛时期。在数学发展史上，毕达哥拉斯学派功不可灭，是他们在欧洲最先发现了勾股定理，是他们最早接触了黄金分割点，是他们从不可通约的线段中发现了无理数。毕达哥拉斯学派是由古希腊大哲学家毕达哥拉斯创立的。据说，毕达哥拉斯从小家境贫寒，破于生计，小小年纪的他常常到镇外的荒地里去砍材，有一次，毕达哥拉斯砍完柴，在背着柴禾回家的途中，碰到了镇上的一位老绅士，见他柴禾捆扎的特别别致讲究，就问他是谁替他捆扎的。毕达哥拉斯回答是自己捆的，并当着老绅

2、士的面又捆扎了一遍，惊讶的老绅士赞叹地看着毕达哥拉斯，连说他不应该去砍柴，而应该去念书。就这样，在老绅士的资助下，拜在了最早重视应用数学的科学家之一泰尔斯门下。聪颖的毕达哥拉斯很快得到了泰尔斯的器重，他也感到很荣幸。可是没过多久。毕达哥拉斯觉得泰尔斯太会算计了，而不在喜欢他了。原因是这样的：泰尔斯开始在榨油的淡季用很便宜的价格买下了当地的全部油坊，等到第二年，正好碰上橄榄丰收，大家都要去油坊榨油，这时泰尔斯将油坊以高出平常数倍的价格给别人去榨油，很轻易的就赚了一笔钱。他很反感于是离开了米利都，孤身一人回到

3、了故乡。回到故乡后，毕达哥拉斯创办了一所“学校”，即毕达哥拉斯学派。这所学校与中国传统意义上的私塾不一样，与其说它是一所学校不如说它是一个献身数学见就和宗教修养的团体。这个团体不随便招收人员，所有加入的成员都必须宣誓：严守秘密，终身只加入这一学派，并不得将知识传播到学派之外，否则将受到严厉的乘法。学派得的一切知识都由他传授，但不是每个成员都有资格见到他，而且作为义务，学派的每个成员在各个方向张的发现都应该告诉毕达哥拉斯，并且以“毕达哥拉斯”的名义发表。所以我们评价历史上毕达哥拉斯的成就，还不如说是评价整个

4、毕达哥拉斯学派的成就无理数的发现者希帕苏斯就是一个深受毕达哥拉斯器重的学派成员。由于勾股定理的发现使毕达哥拉斯学派声名远扬，毕达哥拉斯决定弄清楚勾股弦到底是什么样的，于是交给希帕苏斯一个筛选满足条件的勾股弦三元数组的任务。就是这个任务，给希帕苏斯带来了数学史上的名垂千古，也同时带来了死神。毕达哥拉斯学派一向主张“万物皆数”，意思就是说“宇宙中的一切都可以表示成整数与整数之比，除此之外，没有别的东西”这种认识在个方面知识都不发达的当时，科学界都认同这个观点，希帕苏斯开始也并不怀疑这一点。可是，随着确定三元数

5、组工作的深入，希帕苏斯碰到了求正方形对角线的问题：假设一个正方形边长为1，那么它的对角线长为多少？根据毕达哥拉斯学派“万物皆数”的主张，这条对角线也一定可以用整数与整数之比来表示。如果设这个数为d，根据勾股定理有d²=1²+1²=2，那么d=√2，√2又能表示成哪两个整数之比呢？结果整数没有找着，反而让希帕苏斯利用毕达哥拉斯学派常用的一种方法——归谬法，证明了√2无法表示成两个整数之比。那么√2到底是什么东西呢？他将在求对角线时批僧到的这件怪事原原本本地告诉了他并询问该如何解决。毕达哥拉斯开始听了这事也很

6、吃惊。于是希帕苏斯将自己的证明恭敬地递了上去：如图，正方形边长为1，对角线长为√2。如果√2是两个整数之比，则不妨设√2=α/β。其中α，β是两素数的整数。根据直角三角形勾股定理得（√2）²=1²+1²即（α/β）²=2化简得α²=2β²；可见α²是偶数，因此α一定是偶数；从假设知α，β互素，所以β一定是奇数；又因为α是偶数，故可设α=2γ，则α²=4γ²；∵α²=2β²，∴2β²=4γ²，∴β²=2γ²，∴β也是偶数，这与“β是奇数”矛盾，∴√2不能表示成两个整数之比。1√2看完证明过程，毕达哥拉斯恐慌

7、了，因为如果不承认这个证明正确，他看不出证明中有什么不正确的地方；可是如果承认这个证明正确，那就等于承认了以前宣称的“万物皆数”观点的错误，这不是自己拆自己的台呢？毕达哥拉斯决定维护毕达哥拉斯学派的心跳，他采取了不承认的态度，并威胁保密不要把事情说出去。还在学派内部宣布谁泄密就活埋谁！而希帕苏斯却是一个很有思想，敢于坚持真理的人，他并没有放弃对√2的探求，而切一有机会就要宣传√2的客观存在性，这种违背命令的做法，当然使得欲杀之而后快。希帕苏斯知道这个消息后，连忙跳上一艘海船准备逃走，不过最终还是被扔进了大

8、海，没有逃脱死亡的命运。这就是无理数充满着血与泪的发现过程。但是无理数毕竟是存在的，为此人民采取了良种方法来确认它的存在：一种是不认为是数，仅仅能用一条线段来表示它，这可以说是一种几何的观点；另一种是把它当作通常的数来处理，也就是承认它与整数和整数之比有着相同的地位，这也可以说是一种代数的观点。西方数学史上最早接受无理数的代数学者是英国的哈里奥特，他认为只要能单于计算的就是数，而不必管它到底该怎样表示。无理数逻辑结构的真正解决