高三数学不等式证明，均值不等式（文）人教实验版（A） 知识精讲.doc

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1、高三数学不等式证明，均值不等式（文）人教实验版（A）【本讲教育信息】一.教学内容：不等式证明，均值不等式二.重点、难点：1.证明方法（1）直接证明：比较法、综合法、分析法（2）间接证明：反证法（3）其它方法2.均值不等式【典型例题】[例1]证明：（1），求证：（2）且，求证：（3），，求证：（4）且，求证：（5），求证：（6），求证：中至少有一个不小于（7），求证：用心爱心专心证明：（1）（2）（3）左=∴∴左（4）∵∴*式显然成立∴（5）用心爱心专心（6）假设即，，与已知矛盾∴假设不成立∴原命

2、题真（7）∴∴[例2]（1）的最大值；（2），的最小值解：（1）∴时，（2）∴时，[例3]（1），求的最小值；（2），求的最小值。解：（1）用心爱心专心∴（2），∴当∴另解：[例4]，函数，若方程，在（0，1）内有两个不等的实根，求正整数的最小值及此时方程的根。解：∴开口向上，不妨设两根∴∴又∵∴又，∴∴此时∴∴用心爱心专心[例5]已知是实数，函数，，当时，。（1）证明：；（2）证明：当时，（3）设，有时，的最大值为2，求（1）证明：由条件当时，，取得，即（2）证法一：依题设而，所以，当时，在上

3、是增函数，于是，（）∵∴因此得，；当时，在[－1，1]上是减函数于是∵∴综上以上结果，当时，都有证法二：∵∴∵，∴，，因此，根据绝对值不等式性质得：∵∴函数的图象是一条直线因此在[－1，1]上的最大值只能在区间的端点或处取得于是由得，（）用心爱心专心证法三：∵∴当时，有∵，（），∴因此当时，（3）解：因为，在[－1，1]上是增函数，当x=1时取得最大值2，即①∵，∴因为当时，，即，根据二次函数的性质，直线为的图象的对称轴，由此得，即，由①得，所以[例6]设二次函数，方程的两个根满足。（1）当时，

4、证明；（2）设函数的图象关于直线对称，证明：。解：（1）令，因为是方程的根所以当时，由于，得用心爱心专心又，得，即∵，∴∴，由此得（2）依题意：，因为是方程的两根，即是方程的根∴∴因为，∴[例7]设（为常数），方程的两个实数根为，，且满足。（1）求证：；（2）设，比较与的大小。（1）证明：由，得，∴∴（2）解：∵，∴又，∴∴用心爱心专心[例8]设，是满足的实数，其中。求证：（1）；（2）。证明：（1）由，得，∵，∴∴，∴，∴又，∴（2）由，得∵，∴∴，即化简得+2∵∴∴[例9]设函数的定义域是R

5、，对于任意实数，恒有，且当时，。（1）求证：，且当时，有；（2）判断在R上的单调性；（3）设集合，集合，若，求的取值范围。解析：（1）∵对于任意实数m，n，恒有∴令，则，∵时，，∴设，则，∴∴，故，且当时，有（2）设任意，且，则∵，∴∵时，；时，；，∴对，有∴用心爱心专心∴，∴在R上单调递减（3）∵，∴，由单调性知又∵，∴∵，∴，即，∴【模拟试题】1.（2007·临沂统考）已知，则t和s的大小关系中正确的是（）A.B.C.D.2.（2007·黄冈模拟）若，则下列不等式中一定成立的是（）A.B.C

6、.D.3.（2007·青岛模拟）函数的图象是两条直线的一部分（如图），其定义域是，则不等式的解集是（）A.{，且}B.{}C.{或}用心爱心专心D.{或}4.设，那么且是成立的条件。A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要5.不等式的解集为M，且，则的取值范围为（）A.B.C.D.6.（2007·杭州一模）已知，则的最小值为（）A.6B.7C.8D.97.若关于x的不等式和不等式<1有相同的解集，则函数的单调递减区间是（）A.B.C.D.8.（2007·滨州模拟）已知点P（x，y

7、）到A（0，4）和B（－2，0）的距离相等，则的最小值为（）A.2B.4C.D.9.若不等式在区间[1，5]上有解，则的取值范围是（）A.（）B.C.（）D.（）10.（2007·东北三校）对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.11.（2007·德州模拟）对于函数，在使成立的所有常数M中，我们把M的最大值－1叫做的下确界。则对于且不全为0，的下确界为（）A.B.2C.D.412.定义在R上的奇函数为增函数，偶函数在区间的图象与用心爱心专心的图象重合，设，给出下列不等式，

8、其中正确不等式的序号是（）①②③④A.①③B.②④C.①④D.②③13.下列四个命题中：①；②；③设都是正数，若，则x+y的最小值是12；④若，，则，其中所有真命题的序号是。14.某公司租地建仓库，每月土地占用费与车库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费与到车站的距离成正比，如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用和分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站公里处。15.已知二次函数（R，），设方程的两实数根为。（1）如果，设函数的对称轴为，求证：；（2）如果，求的取