2012中考数学压轴题 二次函数动点问题（六）.doc

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1、2012中考数学压轴题二次函数动点问题（六）1.如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）．抛物线y＝ax2＋bx过A、C两点．（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）动点P从点A出发，沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G．当t为何值时，线段EG最长？②连接EQ，在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是

2、等腰三角形？请直接写出相应的t值．解：（1）点A的坐标为（4，8）．将A（4，8）、C（8，0）两点坐标分别代入y＝ax2＋bx，得解得a＝－，b＝4．∴抛物线的解析式为y＝－x2＋4x．（2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，tan∠PAE＝＝，即＝＝．∴PE＝AP＝t，PB＝8－t．∴点E的坐标为（4＋t，8－t）．2∴点G的纵坐标为－(4＋t)2＋4(4＋t)＝－t2＋8．∴EG＝－t2＋8－(8－t)＝－t2＋t∵－＜0，∴当＝4时，线段EG最长为2．13②共有三个时刻．t1＝，t2＝，t3＝40－．2.如图，抛物

3、线y＝－x2＋2x＋3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连结BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m．xyDCAOB①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式．解：（1）A（－1，0），B（3，0），C（0，3）．抛物线的对称轴是：x＝1．（2）①设直线BC的解析式为：y＝k

4、x＋b．将B（3，0），C（0，3）分别代入得：解得∴直线BC的解析式为y＝－x＋3．当x＝1时，y＝－1＋3＝2，∴E（1，2）．当x＝m时，y＝－m＋3，∴P（m，－m＋3）．将x＝1代入y＝－x2＋2x＋3，得y＝4，∴D（1，4）．将x＝m代入y＝－x2＋2x＋3，得y＝－m2＋2m＋3．∴F（m，－m2＋2m＋3）．∴线段DE＝4－2＝2，线段PF＝－m2＋2m＋3－(－m＋3)＝－m2＋3m∵PF∥DE，∴当PF＝DE时，四边形PEDF为平行四边形．13由－m2＋3m＝2，解得：m1＝2，m2＝1（不合题意，舍

5、去）．∴当m＝2时，四边形PEDF为平行四边形．②设直线PF与x轴交于点M．由B（3，0），O（0，0），可得：OB＝OM＋MB＝3．则S＝S△BPF＋S△CPF＝PF·BM＋PF·OM＝PF·OB＝(－m2＋3m)×3＝－m2＋m（0≤m≤3）即S与m的函数关系式为：S＝－m2＋m（0≤m≤3）．3.如图，在矩形OABC中，已知A、C两点的坐标分别为A（4，0）、C（0，2），D为OA的中点．设点P是∠AOC平分线上的一个动点（不与点O重合）．（1）试证明：无论点P运动到何处，PC总与PD相等；（2）当点P运动到与点B的

6、距离最小时，试确定过O、P、D三点的抛物线的解析式；（3）设点E是（2）中所确定抛物线的顶点，当点P运动到何处时，△PDE的周长最小？求出此时点P的坐标和△PDE的周长；（4）设点N是矩形OABC的对称中心，是否存在点P，使∠CPN＝90°？若存在，请直接写出点P的坐标．解：（1）∵点D是OA的中点，∴OD＝2，∴OD＝OC．又∵OP是∠COD的角平分线，∴∠POC＝∠POD＝45°．∴△POC≌∠POD，∴PC＝PD；13（2）如图，过点B作∠AOC的平分线的垂线，垂足为P，点P即为所求．易知点F的坐标为（2，2），故B

7、F＝2，作PM⊥BF．∵△PBF是等腰直角三角形，∴PM＝BF＝1．∴点P的坐标为（3，3）．∵抛物线经过原点∴可设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx．又∵抛物线经过点P（3，3）和点D（2，0）∴解得∴过O、P、D三点的抛物线的解析式为y＝x2－2x；（3）由等腰直角三角形的对称性知D点关于∠AOC的平分线的对称点即为C点．连接EC，它与∠AOC的平分线的交点即为所求的P点（因为PE＋PD＝EC，而两点之间线段最短），此时△PED的周长最小．∵抛物线y＝x2－2x的顶点E的坐标（1，－1），C点的坐标（0，2）设CE所在直

8、线的解析式为y＝kx＋b则解得∴CE所在直线的解析式为y＝－3x＋2．联立，解得，故点P的坐标为（，）．13△PED的周长即是CE＋DE＝；（4）存在点P，使∠CPN＝90°，其坐标为（，）或（2，2）．4.如图1，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为（2，4）；矩形ABCD的顶点A