福建省长泰一中高考数学一轮复习《函数的单调性》教案.doc

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1、]福建省长泰一中高考数学一轮复习《函数的单调性》教案基础过关一、单调性典型例题例1.已知函数f(x)=ax+(a＞1)，证明：函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.证明方法一任取x1,x2∈(-1,+∞),不妨设x1＜x2,则x2-x1＞0,＞1且＞0,∴，又∵x1+1＞0,x2+1＞0,∴＞0,于是f(x2)-f(x1)=+＞0,故函数f(x)在（-1,+∞）上为增函数.方法二f(x)=ax+1-(a＞1),求导数得=axlna+,∵a＞1,∴当x＞-1时，axlna＞0,＞0,

2、＞0在（-1，+∞）上恒成立，则f(x)在（-1,+∞）上为增函数.方法三∵a＞1,∴y=ax为增函数，又y=，在（-1，+∞）上也是增函数.∴y=ax+在（-1，+∞）上为增函数.4用心爱心专心变式训练1：讨论函数f（x）=x+（a＞0）的单调性.解：方法一显然f（x）为奇函数，所以先讨论函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，设x1＞x2＞0,则f(x1)-f(x2)=（x1+）-（x2+）=(x1-x2)·（1-）.∴当0＜x2＜x1≤时，＞1,同理0＜x＜或-＜x＜0时，＜0

3、即f（x）分别在（0，］、［-，0）上是减函数.例2.判断函数f(x)=在定义域上的单调性.解：函数的定义域为{x

4、x≤-1或x≥1},则f(x)=,可分解成两个简单函数.f(x)==x2-1的形式.当x≥1时，u(x)为增函数，为增函数.∴f（x）=在［1，+∞)上为增函数.当x≤-1时，u（x)为减函数，为减函数，∴f(x)=在（-∞,-1］上为减函数.变式训练2：求函数y=（4x-x2）的单调区间.解：由4x-x2＞0，得函数的定义域是（0，4）.令t=4x-x2，则y=t.

5、∵t=4x-x2=-（x-2）2+4，∴t=4x-x2的单调减区间是［2，4），增区间是（0，2］.又y=t在（0，+∞）上是减函数，4用心爱心专心∴函数y=（4x-x2）的单调减区间是（0，2］，单调增区间是［2，4).例3.求下列函数的最值与值域：（1）y=4-;(2)y=x+;(3)y=.解：（1）由3+2x-x2≥0得函数定义域为［-1，3］，又t=3+2x-x2=4-(x-1)2.∴t∈［0，4］，∈［0，2］，从而，当x=1时，ymin=2，当x=-1或x=3时，ymax=4

6、.故值域为［2，4］.(2)方法一函数y=x+是定义域为{x

7、x≠0}上的奇函数,故其图象关于原点对称,故只讨论x＞0时,即可知x＜0时的最值.∴当x＞0时,y=x+≥2=4，等号当且仅当x=2时取得.当x＜0时，y≤-4,等号当且仅当x=-2时取得.综上函数的值域为（-∞，-4］∪［4，+∞），无最值.方法二任取x1,x2,且x1＜x2,因为f(x1)-f(x2)=x1+-(x2+)=所以当x≤-2或x≥2时，f(x)递增,当-2＜x＜0或0＜x＜2时，f(x)递减.故x=-2时，

8、f(x)最大值=f(-2)=-4,x=2时，f(x)最小值=f(2)=4,所以所求函数的值域为（-∞，-4］∪［4，+∞），无最大（小）值.（3）将函数式变形为y=,可视为动点M（x,0）与定点A（0，1）、B（2，-2）距离之和，连结AB，则直线AB与x轴的交点（横坐标）即为所求的最小值点.ymin=

9、AB

10、=，可求得x=时，ymin=.显然无最大值.故值域为［，+∞）.变式训练3：在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf（x）=f（x+1）-f（x）.某公司每月最多

11、生产100台报警系统装置，生产x（x＞0）台的收入函数为R（x）=3000x-20x2(单位：元)，其成本函数为C（x）=500x+4000（单位：元），利润是收入与成本之差.（1）求利润函数P（x）及边际利润函数MP（x）；（2）利润函数P（x）与边际利润函数MP（x）是否具有相同的最大值？解：（1）P（x）=R（x）-C（x）=（3000x-20x2）-（500x+4000）=-20x2+2500x-4000（x∈［1，100］且x∈N,）MP（x）=P（x+1）-P（x）=-20（x+

12、1）2+2500（x+1）-4000-（-20x2+2500x-4000）=2480-40x（x∈［1，100］且x∈N）.（2）P（x）=-20(x-2+74125，当x=62或63时，P(x)max=74120（元）.因为MP（x）=2480-40x是减函数，所以当x=1时，MP(x)max=2440(元）.因此，利润函数P（x）与边际利润函数MP（x）不具有相同的最大值.例4．（2009·广西河池模拟）已知定义在区间（0，+∞）上的函数f(x)满足f(=f(x1)-f