多元函数微分法及其应用 复习题(及答案).doc

《多元函数微分法及其应用 复习题(及答案).doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第八章　　　多元函数微分法及其应用教学与考试基本要求1．理解多元函数、多元函数偏导数的概念，会求多元函数的定义域、二重极限；2．会求多元函数的偏导数、全微分、全导数等；3．会求空间曲线的切线及法平面、空间曲面的切平面及法线方程；4．会求方向导数和梯度5．会用多元函数微分法解决简单的最大值最小值问题．8.1　　多元函数的概念一、主要内容回顾二重极限设二元函数在点的某一去心邻域内有定义，如果动点沿任意方式趋近于时，对应的函数值总是趋近于一个确定的常数，则称为函数当时的极限，或称函数在点处收敛于，记为注意：如果点只是沿某一条或几条特殊路径趋向于，函数趋向于某一确定的值，不能判断函数的极限

2、存在；反过来，如果当沿不同的路径趋于时，趋于不同的值，就可判定在的极限不存在．注：二重极限的运算与一元函数极限的运算完全一致．连续（1）设二元函数在点的某邻域内的定义，如果，则称函数在处连续，并称为的连续点．（2）设二元函数在点的某邻域内的定义，如果，则称函数在处连续．其中称为在处的全增量．（3）若函数在内每一点都连续，称函数在内连续．（4）函数的不连续点称为函数的间断点．一阶偏导数设函数在点的某邻域内有定义，（１）若存在，则称此极限为在处对的偏导数，记作，，或（２）若存在，则称此极限为在处对的偏导数，记作，，或．（３）若在区域内的每一点处对（或）的偏导数都存在，则这个偏导数为的函

3、数，此函数称为对（或）的偏导函数，记为（或）．不致混淆时也称偏导函数为偏导数．几何意义（１）表示空间曲线在点的切线对轴的斜率；（２）表示空间曲线在点的切线对轴的斜率．二阶偏导数若在区域内的偏导函数仍在内可导，则它们的偏导函数是的二阶偏导数，分别是：，　　，　　其中称为的二阶混合偏导数．同理可定义三阶及三阶以上的偏导数．二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数．注意：混合偏导数与求导顺序有关，但当在内连续时，．全微分设函数在点的某邻域内有定义，如果全增量可表示为其中不依赖于，仅与有关，，则称函数在点处可微，称为在点的全微分，记作，即．若函数在内的每一点处可微，称函数的内可微．可微的性质

4、（１）可微的必要条件：若在处可微，则在处可导，且（２）可微的充分条件：若的偏导数在连续，则函数在该点必可微．（３）记，则．复合函数的偏导数（１）若函数在点处对及对的偏导数存在，在对应点对及对有连续的偏导数，则复合函数在点处对及对的偏导数存在，且有公式；．（２）对亦有；．（３）对有；．全导数设，则复合函数是的一元函数，且，称为关于的全导数．隐函数的偏导数（１）设函数在的某邻域内具有连续偏导数，且，则方程在点的某邻域内可惟一确定一个具有连续导数的函数，满足，且．（２）设函数在的某邻域内具有连续偏导数，且则方程在的某邻域内可惟一确定一个具有连续偏导数的函数，满足，且　　　　　　；．空间曲

5、线的切线及法平面（１）设的参数方程为，，其中都是的可导函数，当时，，对应曲线上的定点，不全为零，则在的切向量为，切线方程为　　　．法平面方程为　　．（２）若的方程为，，都是的可导函数，则在的切向量为，切线方程为：　　　　　　．法平面方程为：　　　　．空间曲面的切平面及法线（１）隐式方程情形：设曲面的方程为，为上的一点，在的偏导数连续且不全为零，则在的法向量为，切平面方程为：法线方程为：　（２）显式方程情形：设曲面的方程为，为上的一点，在处有连续偏导数，则在的法向量为切平面方程为：法线方程为：极值设函数在点的某邻域内有定义，对于该邻域内不同于的任意点，总有，则称为函数的一个极大值（或

6、极小值），点称为极大值点（或极小值点）．极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点．驻点使的点称为函数的驻点．极值的必要条件设函数在点处的两个偏导数存在，且在点处取得极值，则极值的充分设函数在点的某邻域内有连续的一阶和二阶偏导数，条件为函数的驻点，令，，，，（1）若，则点是的极值点，且当时，点为极大值点，当时，点为极小值点；（2）若，则点不是的极值点；（3）若，可能是的极值点，也可能不是的极值点．函数的最大值与最小值在实际问题中，根据问题的实际意义，可以判断函数在区域上存在最大值或最小值，且一定在区域的内部取得，而区域内仅有一个驻点，则函数必在该驻点处取得最大值或最小

7、值．二、常考题型1.多元复合函数的定义域例1.函数的定义域是_____________．　　2.求二元函数极限例2求极限1）2）；3）．、4）3.证明极限不存在例3证明下列极限不存在（1）　　（2）4.求偏导数及全微分例4求下列函数的偏导数（1）；　　　（2）（3）；　　　　（4）；例5求下列函数的全微分（1）；　　　（2）；（3）；　　例6求下列函数的偏导数1）设，求．2），求．3）讨论函数在点处的可导性，连续性与可微性．例71）求的二阶偏导数。　2）证明函数满足方