同济版线性代数笔记.pdf

《同济版线性代数笔记.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第一章行列式二阶行列式：如下所示aa1112=−aaaa（1）11221221aa2122数a称为行列式的元素或元，其第一个下标i称为行标；第二个下标j称为列标；位于第iij行第j列的元素称为行列式的(,)ij元。例：求解二元线性方程组⎧⎫321xx−=212⎨⎬⎩⎭21xx+=123−−2122312解：DD==7,====14,D−2112211121D14D12得x===2，x==−312D7D三阶行列式：如下所示⎛⎞aaa111213⎜⎟aaaa=++−aaaaaaaaaaa⎜⎟212223112233122331132132112332（2）⎜⎟aaa⎝

2、⎠313233−−aaaaaa122133132231排列（全排列）：把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列。例如n=3，则这3个元素的排列的种数为123,132,213,231,321,312，共六种，即种数为P=××=3216种。3对于n个元素，则其排列的种数为Pnn=×−(1)321!LL××=nn逆序数：对于n个不同的元素，先假设各元素之间有一个标准次序（例如n个不同的自然数，可规定由小到大为标准次序），很显然，n个不同的元素排列顺序肯定不止一种，当这些元素的排列中某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说它有一个逆序。排列中所有逆序的总数叫做这

3、个排列的逆序数。逆序数为奇数的排列叫做奇排列，逆序数为偶数的排列叫做偶排列。不失一般性，设n个元素为1至n这n个自然数，规定由小到大为标准次序，设pppL12n为这n个自然数的一个排列，考虑元素p，如果比p大的且排在p前面的元素有t个，就iiii说p这个元素的逆序数是t（因为按照标准排序从小到大，即在p之前本该没有数大于p，iiii但现在有t个，所以说有t个元素相对于p与标准顺序不同，即有t个逆序数），如果每个iiii元素都有相应的逆序数（如果没有的话，则其逆序数为零），则全体元素的逆序数之总和为nttt=+++=12Ltni∑t，例如排列32514的逆序数为0+

4、1+0+3+1=5个i=1n阶行列式：我们观察三阶行列式可以发现，其等号右边的每一项都是三个元素的乘积，且这三个元素都位于不同的行、不同的列，因而等号右边任一项除正负号以外可以写成aaa。这里的第一个下标（行标）排成标准次序123，而第二个下标（列标）排成123ppp123ppp，它是1,2,3三个数的某个排列，共3!6=种，对应三阶行列式等号右边的6项。而123这六项前面有的是正号有的是负号，这和ppp的逆序数有关，如果逆序数为偶数则为正，123t逆序数为奇数则为负，设t为列标排列的逆序数，则正负号表示为(1)−。依次类推，对于n2阶行列式，共有n个数，排成n行

5、n列，其计算如下⎛⎞aa1112La1n⎜⎟aaLa⎜⎟21222n=−∑(1)taaLa（3）⎜⎟MMM12pp12npn⎜⎟aaLa⎝⎠nn12nn其中的pppL为自然数1,2,L,n的一个排列，t为这个排列的逆序数。上式共有n!项。12n行列式简记作det(a)。ij特殊行列式：（1）对角阵，如下所示⎛⎞rr11⎛⎞⎜⎟⎜⎟nn(1−)rr⎜⎟22==rrLLr;(⎜⎟−1)2rrr12nn12⎜⎟ON⎜⎟⎜⎟⎜⎟rr⎝⎠nn⎝⎠（2）三角形行列式：主对角线以下（上）的元素都为0的行列式叫做上（下）三角形行列式。它的值与对角行列式一样。对换：在排列中，将任意

6、两个元素对调，其余的元素不动，这种手续叫做对换。将相邻两个元素对换叫做相邻对换。对换具有如下性质：（1）一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。因而奇排列变成标准排列的对换次数为奇数，偶排列变成标准排列的对换次数为偶数。（标准排列逆序数为0）。（2）因为行列式的结果有行和列两个序列组成，所以每次对换后，其行与列的逆序数都会变化，经验证，两者的逆序数变化之和为偶数，即不改变行列式奇偶性，因而结果的正负号也不改变，因而整个行列式也不改变。即行列式可以表示成如下两种方式⎛⎞aa1112La1n⎜⎟aaLa'⎜⎟21222n=−∑∑(1)ttaaLLa=−(1)aa

7、a⎜⎟MMM12pp12npnnpp1212pn⎜⎟aaLa⎝⎠nn12nn上式中的t是列标排列的逆序数；t'是行标排列的逆序数。转置行列式：D的转置行列式记作DT，如下所示aaLLaaaa11121nn11211aaLLaaaa21222nnT12222DD=⇒=MMMMMMaaaaaLan12nnn12nnnn行列式性质：行列式具有如下的一些性质：（1）行列式与它的转置行列式相等。（2）互换行列式的两行（列），行列式变号（因为只对换了行或列，互换一次是奇数次）。（3）如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于零。（4）行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同

8、一个数k，