数值计算龙熙华部分习题问题详解.doc

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1、第1章绪论教材习题解题思路2．算法提示：利用补充定理：设的近似值为为….的数字则（1）如果有位有效数字，则（2）如果则至少有位有效数字。由上述定理容易求得近似值有4位有效数字。3．算法提示：利用已知变量的相对误差要求函数值的相对误差可用公式：。由此可得5．算法提示：利用2中的补充定理。6．算法提示：和3中应用公式一样。11．算法提示：容易推得。由于（2）和（4）中都涉及两相近数相减，使有效数字丢失；（1）在分母上的乘幂比（3）多，每次的乘幂都会带来误差，因此（3）式得到的结果最好。补充习题解题思路1．为了使计算圆面积时的相对误差小于1%，问R的允许相对误差界应是多少？解：R的允许相对误差

2、为则所求为第2章方程求根教材习题解题思路3.证明先证存在性：由若或，则或为方程的根。否则可设或，作辅助函数，显然，且有，根据连续函数的性质，至少存在一点满足即。的根存在。再证唯一性。反证法，若方程有两个不同的根，则得出矛盾，可知方程只有一根。4．解：令，并取区间，则。显然，则方程的根，则对于迭代公式（1），，在区间连续，且有，因而该迭代收敛。（2），，在区间连续，且有，因而该迭代收敛。（3），，则，因而该迭代发散。事实上，若取进行迭代，由得，，，显然迭代序列发散。由于在收敛的情况下，若越小，则迭代序列收敛于的速度越快，故本题取迭代格式（2）来求方程的近似根，具体结果如下：由，取，则，，，

3、迭代6次即可得方程的具有四位有效数字的根为5．证：设方程的等价形式为，则因为，所以6．解：注意到则当时，将方程写成等价形式，构造迭代形式：可望收敛，表示的反函数。补充习题解题思路1．设有迭代公式，试证明该公式。在附近是平方收敛的，并求。证明：迭代函数，由收敛阶判定定理，2阶收敛。极限式=第3章线性方程组的解法教材习题解题思路4．证明：先证必要性：因为向量序列收敛于向量，即再证充分性：因为即所以。6.证明提示：先假设是不可逆矩阵，推出矛盾，说明是可逆矩阵，再利用即可推出结论。7．算法提示：利用迭代法基本定理判断即可。9．算法提示：利用迭代法基本定理判断。再求解谱半径小于1时可证明结论成立。

4、10．算法提示：先将迭代公式写成标准形式，求得，再利用迭代法的基本定理去证明。12．算法提示：将和依次按行和列交错求出即可。补充习题解题思路1．设，。若线性方程组仅有右端有扰动。试估计由此引起的解的相对误差。解：（5分）（9分）第四章数值积分要点：（1）数值积分公式的代数精确度概念，代数精确度所蕴含的余项表达式（2）插值型求积公式的构造及余项表达式（3）插值型求积公式关于代数精确度的结论及证明（4）梯形公式、Simpson公式的形式及余项表达式（5）复合梯形公式、复合Simpson公式及其余项表达式（6）掌握如何根据要求的精度依据复合梯形（或Simpson）公式的余项确定积分区间[a,b

5、]的等分次数n（7）Newton-Cotes求积分公式的特点以及代数精确度的结论（8）高斯型求积公式的概念复习题：1、已知求积公式为(1)确定它的代数精度，并指出它是否为Gauss公式；(2)用此求积公式计算定积分解：（1）依次取代入积分公式可发现:左端=右端，而当取时，左端可端可见该是求积公式具有5阶代数精确度由于求积公式节点数为,而公式代数精确度所以该求积公式为Gauss公式（1）对于，有故2、对于2结点插值型求积公式。（1）如果求积分公式是两结点牛顿—科特斯求积公式，请给出求积系数，求积结点，并给出积分余项表达式（2）若使其具有最高的代数精度，试确定求积系数与求积结点？代数精度为多

6、少？注：本题不用考虑1、分别用梯形公式和二点Gauss公式计算积分，比较二者的精度解：利用梯形公式，注：Gauss公式部分不要2、对于积分。（1）写出梯形公式与辛普森公式；（2）请直接指出这两个公式的代数精度；（3）问区间[0,1]应分为多少等分，用复化辛普森公式才能使误差不超过解：（1），（2）梯形公式余项辛普森公式余项可见梯形公式代数精度为，辛普森公式代数精度（3）根据复合辛普森公式的余项注意到令，解得可见当取时，对应的复合辛普森公式可满足精度要求3、确定下列公式中的参数，，，使其代数精度尽量高，并指出所得公式的代数精确度。解：依次取代入积分公式，并令:左端=右端，得方程组，解得得公

7、式：取代入公式，有左端=右端取代入公式，有左端右端可见该求积公式代数精确度为1、确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指出其代数精度解：解题过程与上题类同，所得结果代数精确度为2、试设计求积公式，使之代数精度尽量高，并指出其所具有的代数精度。解：解题过程与上题类同，所得结果代数精确度为3、求积公式具有多少次代数精确度解：依次取代入积分公式，得左端=右端当取时，左端右端，故公式的代数精确度为4、试设计求积公式，使之代数精