数值计算问题详解石瑞民

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1、实用标准文案习题一1、取3.14,3.15，，作为的近似值，求各自的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。解：所以，有三位有效数字绝对误差：，相对误差：绝对误差限：，相对误差限：所以，有两位有效数字绝对误差：，相对误差：绝对误差限：，相对误差限：所以，有三位有效数字绝对误差：，相对误差：绝对误差限：，相对误差限：所以，有七位有效数字绝对误差：，相对误差：精彩文档实用标准文案绝对误差限：，相对误差限：3、下列各数都是对准确数四舍五入后得到的近似数，试分别指出它们的绝对误差限和相对误差限，有效数字的位数。解：m=-1所以，n=3，有三位有效数字绝对误差限：，相对误差：m=0所以，n=4，有

2、四位有效数字绝对误差限：，相对误差：m=2所以，n=4，有四位有效数字绝对误差限：，相对误差：m=4所以，n=4，有四位有效数字绝对误差限：，相对误差：4、计算的近似值，使其相对误差不超过。解：设取位有效数字，由定理1.1知，由…，所以，由题意，应使，即所以，n=4，即的近似值取4位有效数字精彩文档实用标准文案近似值6、在机器数系下中取三个数，，，试按和两种算法计算的值，并将结果与精确结果比较。解：所以，比精确，且与相同；因此，在做三个以上的数相加时，需要考虑相加的两个同号数的阶数尽量接近。8、对于有效数，，，估计下列算式的相对误差限。，，解：，m=1;所以同理精彩文档实用标准文案或

3、或或所以，所以，所以，综合得：，，9、试改变下列表达式，使其结果比较精确（其中表示x充分接近0，表示充分大）。（1），（2），（3），（4），（5），答案：（1）；（3），（4）法一：用得出结果为：法二：精彩文档实用标准文案或12、试给出一种计算积分近似值的稳定性递推算法解：显然，In>0,n=1,2,…当n=1时，得，当n≥2时，由分部积分可得：，n=2,3,…另外，还有：由递推关系In=1-nIn-1，可得计算积分序列{}的两种算法：①n=2,3…②，下面比较两种算法的稳定性①若已知的一个近似值，则实际算得的的近似值为所以，由此可以看出的误差放大n倍传到了，误差传播速度逐步放大②

4、由计算若已知的一个近似值是，则实际计算的的近似值为所以，由此可以看出的误差将缩小n倍传到了，误差传播速度逐步衰减。综上可看出，计算积分的一种稳定性算法为精彩文档实用标准文案习题二1、利用二分法求方程[3，4]内的根，精确到，即误差不超过。解：令，，说明在[3，4]内有根，利用二分法计算步骤得出，满足精度要求所以，，共用二分法迭代11次。2、证明在[0,1]内有一个根，使用二分法求误差不大于的根。证明：令，所以，由零点定理知，在[0,1]内有一根根据计算得出：，此时共迭代15次。4、将一元非线性方程写成收敛的迭代公式，并求其在附近的根，精确到。解：令令=0，得到两种迭代格式精彩文档实用

5、标准文案①，不满足收敛定理。②，满足收敛定理由方程写出收敛的迭代公式为取初值为，得出近似根为：5、为方程在附近的一个根，设方程改写为下列等价形式，并建立相应的迭代公式：（1），迭代公式；（2），迭代公式（3），迭代公式解：（1）利用局部收敛定理判断收敛性，判断初值附近的局部收敛（2）局部收敛（3）不满足局部收敛条件但由于，所以比收敛的慢取第二种迭代格式取初值，迭代9次得7、用牛顿法求解在初始值临近的一个正根，要求。解：令精彩文档实用标准文案由牛顿迭代法知：迭代结果为：012321.888891.879451.87939满足了精度要求，8、用牛顿法解方程，导出计算C的倒数而不用除法的一

6、种简单迭代公式，用此公式求0.324的倒数，设初始值，要求计算结果有5位有效数字。解：，由牛顿迭代公式迭代结果为：012333.0843.0864183.086420满足精度要求所以，0.324的倒数为3.086411、用快速弦截法求方程在附近的实根，（取=1.9，要求精度到）。解：，迭代结果：01234精彩文档实用标准文案21.91.8810941.879411601.87939满足精度要求12、分别用下列方式求方程在附近的根，要求有三位有效数字（1）用牛顿法，取（2）用弦截法，取（3）用快速弦截法，取解：求出的解分别为：习题三1、用高斯消元法解下列方程组（1）（2）解：（1）等价

7、的三角形方程组为，回代求解为（2）等价的三角形方程组为，回代求解为精彩文档实用标准文案2、将矩阵作分解。解：,3、用紧凑格式分解法解方程组解：，,.4、用列主元的三角分解法求解方程组解：,,,5、用追赶法解三角方程组，其中,.精彩文档实用标准文案解：，，6．用改进的Cholesky分解法解方程组解：，，，7、用改进的cholesky分解法解方程组解：，，8、设,求。解：9、设,求解：，，10、设，，计算，及，并比较精彩文档实用标准文案和的大小。解：，=10