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1、编号：08005110138xxxx学院2012届毕业生毕业论文（设计）题目：幂零矩阵的性质及应用完成人：xxx班级：2008-01学制：4年专业：数学与应用数学指导教师：xxxx完成日期：2012-03-31目 录摘要.........................................................................................................(1)0引言................................
2、.....................................................................(1)1预备知识.............................................................................................(1)1.1幂零矩阵的相关概念.....................................................................
3、.....(1)1.2幂零矩阵的基本性质……………..……....................................................(1)2主要结论…………………………..…………………...........................................(4)3应用.................................................................................................
4、...(6)3.1幂零矩阵在矩阵运算中的应用……..………..………..………..….................(6)3.2幂零矩阵与高等代数中其他知识相结合的应用……..………..……...........(8)3.2.1幂零矩阵与线性方程组相结合应用.............................................(9)3.2.2幂零矩阵的若尔当标准形的应用...............................................(10)3.2.3幂
5、零矩阵与幂零线性变换相结合的应用.....................................(11)参考文献………..………..………..………..………..….....................(13)Abstract………..………..………..………..………..........…...............(14)幂零矩阵的性质及应用作者：xxxxx指导老师：xxx摘要：本文从幂零矩阵的定义出发,总结了幂零矩阵的基本性质及一些主要结论,而且对其应用作进一步的讨论:用幂零矩阵
6、性质求一些特殊矩阵的逆及在历年考研真题中对幂零矩阵的考查.关键词：幂零矩阵;幂零指数;若尔当形;特征根0引言在高等代数中,矩阵是研究问题的很重要的工具,在讨论矩阵的乘法运算时给出了幂零矩阵的定义,但对其性质研究很少.幂零矩阵作为特殊矩阵无论在矩阵的理论方面,还是在实际应用方面都有很重要的意义,而且在一些交叉学科如密码学中,都有广泛的应用.目前,国很多学者对幂零矩阵的性质已有较深入的研究,本文在他们研究的基础上,进一步探讨幂零矩阵的性质.1预备知识为了叙述的需要,我们首先引入幂零矩阵的有关概念.1.1幂零
7、矩阵的有关概念定义1设是阶矩阵,若存在一个自然数,使,则为幂零矩阵.定义2设是幂零矩阵,满足的最小自然数称为的幂零指数.1.2幂零矩阵的基本性质在给出了幂零矩阵的相关概念之后,我们容易得到幂零矩阵的一些基本性质.性质1若是幂零矩阵,则都是幂零矩阵.性质2为幂零矩阵的充要条件是的特征值全为0.在此基础上,我们还可以得到幂零矩阵的另一个充要条件.推论1为幂零矩阵的充要条件是,.证明必要性因为为幂零矩阵,所以的特征值全为0,即,所以的特征值为.从而有.充分性由已知,对,.①令为的不为零的特征值,且互不相同,重
8、数为（）.由①式,得方程组②由于方程组②的系数行列式为又互不相同且不为0,所以,从而知方程②只有0解,即(）.因此的特征值全为0,即为幂零矩阵.推论2若为幂零矩阵,则一定不可逆且有.证明由于为幂零矩阵,所以存在,使得,因此有,所以一定不可逆.由性质2,得的特征值,所以,的特征值分别是,,且有,.即.推论3若为幂零矩阵,则非退化.证明令为的特征值.若退化,则有,所以至少存在为的特征值,从而有为的一特征值,这与为幂零矩阵相矛盾,得证为非退化.对
