二阶微分方程.pdf

《二阶微分方程.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第三节二阶微分方程1特殊二阶微分方程1.y''fx型.此类方程只要积分两次就可以得出通解.通解中包含两个任意常数,可由初值条件确定.2.y''fxy,'型.此类方程不显含未知函数,可用降阶法：先将未知函数一阶导数看作未知函数,原方程化为一阶微分方程.2例3.1求下列微分方程的通解:2dyx1g.2''yy'e.2dt121ytCCt01+gt.2x2yxex1C12C.33.y''fyy,'型.此类方程不显含自变量,可将未知函数一阶导数看作y的函数,原方程化

2、为一阶微分方程.令y'Py,则y''PyPy',dP从而有：PfyP,.dy4例3.2求下列微分方程的通解:2yy''y'0.解:设y'Py，则有：y''PyPy'.原方程变为：yP'P；易得其解为PyCy.1Cxy'.CyyCe1从而有：125二阶线性微分方程如果微分方程中未知函数及其一阶、二阶导数都是一次的,则称为二阶线性微分方程.二阶线性微分方程的一般形式为：y''Pxy12()'Pxy()fx.如果右边的函数为零,则称该方程为二阶线性齐次微分方程.6

3、二阶线性微分方程解的性质定理1,设yy是二阶线性齐次微分方程的两个解,12则其线性组合yCyCy也是该方程的解.1122定理2,设yy是两个线性无关的解,则其线性组合12yCyCy是该齐次方程的通解.1122如果yy不等于非零常数,则称yy,线性无关,2112根据定理2,求二阶线性齐次微分方程的通解就转化为求它的两个线性无关的特解.7定理3设yx是二阶非齐次线性微分方程的一个1特解,,yx是相应齐次方程的通解yyy是212该非齐次方程的通解.定理4设yx12，yx分别是微分方程y''Pxy1

4、'Pxy2fx1,y''Pxy1'Pxy2f2x的解,则yx12yx是方程y''Pxy1'Pxy2fx1f2x的解.8定理5设Yxyx12iyx是微分方程y''Pxy1'Pxy2fx1if2x,的解,,则yx12yx分别是方程y''Pxy1'Pxy2fx1,y''Pxy1'Pxy2f2x的解.9例3.3求解下列初值问题:x1''yy'y0.x1.y03,'0

5、y2.xx11解:容易知道方程有两个线性无关的特解：xyx12xyx,e.x从而原方程得通解为：yCxCe.12由定解条件易得：CC1,3.从而原初值问题的解为：12xyx3.e10例3.4已知微分方程''yPxy'Qxyfx有三xx2个解:yxy,ey,e.求该方程满足定解条件1230yy1,'03的特解.2xxy2ee.11二阶常系数线性微分方程如果二阶线性微分方程中的系数函数P1、P2都是常数，则称为二阶常系数线性微分方程.二阶常系数线性微

6、分方程的一般形式为：y''py'qyfx.12二阶常系数齐次线性微分方程的求解y''py'qy0.xx2x设ye,则y'e,''ye.x2代入方程，有：epq0.2pq0.13解出，就得到方程的特解.满足的方程称为该微分方程的特征方程,特征方程的根称为特征根.下面根据特征根的情况进行讨论.21.判别式pq40,方程有两个不同实根.pxx,.ye12,ye.1212212xx方程的通解为：yCeCe.12142.判别式

7、0,方程有两个相等实根.xp2.yye.1212还需要找一个特解.xy21yuxuxexy2'euxux',x2y2''eux2ux'u''x.u''0uDxD.12xx方程的通解为：yCeCxe.12153.判别式0,方程有两个共轭复根.i,i.其中p2,2.1212xxye,.ye1212xx方程的通解为：yCeCe.12利用Eulre公式，方程的通解可表示

8、为：xyeA12cosxAsinx.16例3.5求解下列微分方程:1y''3'4yy0.2y''2'yy0..3yy''40.4y''ay0.4xx1.AeBexx2AeBxe...3Acos2xBsin2.x17二阶常系数非齐次线