一些特殊类型函数极限的求解方法归类.pdf

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1、科技信息高校理科研究一些特殊类型函数极限的求解方法归类陕西国际商贸学院公共课部邓建国［摘要］利用无穷小量等价代换、两个重要极限、洛必达法则求解一些特殊类型的函数极限，其解题思路明快，方法简捷。［关键词］特殊类型函数极限求解1.引言t解：令t=ax，则x=在大量的实际问题中，往往遇到各式各样函数极限的求解问题，特a别是对一些特殊类型函数极限的求法，如何对它们进行分析、归纳，最且当x→0时，t→0后达到求解，本文将给予以下归类。∴limln(1+ax)2.举例x→0x2.1利用无穷小量等价代换求函数的极限=limln(1+t)利用无穷小量等价代换求函数的极限，一定要熟悉并会运用常用t→0t的等价无

2、穷小，当φ(x)→0时，有sinφ(x)~φ(x);tanφ(x)~φ(x);eφ(x)-1~φ(x);lna[1+φ(x)]~φ(x);1-cosφ(x)~1φ2(x);[1+φ(x)]a-1~aφ(x)。=limaln(1+t)2t→0t13sinx+x2cos1=aln→lim(1+t)t→例1求limxt→0x→0(1+cosx)ln(1+x)=alne=a11解：因ln(1+x)~x(x→0)，xcos→0(x→0)故可考虑用等价无穷小代例6求limn→an-1→(a>0)xn→∞1换求极限。n2121解：令t=a-1，则当n→∞时，t→03sinx+xcos3sinx+xcos且n

3、=[log(t+1)]-1xxa即lim=lim1x→0(1+cosx)ln(1+x)x→0(1+cosx)x∴limn→an-1→n→∞sinx1-13+xcos=limt[loga(t+1)]xx3+03t→0=lim==x→01+cosx1+12=lim111t→01log(1+t)例2求limπ-πtax→0xsinxxtanx解：等价无穷小代换一般不能在加减运算中使用，所以先通分，再=11用1-cosx~1x2(x→0),sinx~x(x→0)，进行代换。loga→lim(1+t)t→2t→01x2=1=lna=lna即limπ1-1π=lim1-cosx=lim2=1logaeln

4、ex→0xsinxxtanxx→0xsinxx→0x·x22.3利用洛必达法则求函数的极限利用洛必达法则求函数的极限时，首先要判断所求函数极限，是否x012+cosx例3求lim3→ππ-1→满足洛必达法则三个条件，即（1）f(x)，F(x)在a的去心邻域胰(a,δ)上连x→0x3解：利用等价无穷小替换，ln(1+t)~t(t→0)，有0∞xx续，且limf(x)=limF(x)=0（型）（或limf(x)=F(x)=∞（型））；（2）f(x)，F(x)2+cosx2+cosxx→ax→a0x→a∞ππ-1～lnππ(x→0)033f'(x)2+cosxcosx-12在胰(a,δ)上可导，且F

5、'(x)≠0；（3）lim=k（k有限或±∞）。其结论是：1+cosx-1xx→aF'(x)又lnππ=lnππ~~-(x→0)3336f(x)f'(x)lim=lim=k。xx2+cosx2+cosxx→aF(x)x→aF'(x)lnππlnππ(x→∞)(x→∞)于是原式=lim3=lim3tanπx2x→0x3x→0x2πx2例7求limπtan4πxx→1-πx61tan=lim=-22πxx→0x6解：令y=πtanπ42.2利用两个重要极限求函数的极限πxπx利用两个重要极限求函数的极限时，必须熟悉并会运用两个重要则lny=tanlntanx24极限limsinx=1和limπ1+

6、1π=e。同时更重要的是要理解其本质含义，∴limlny=limtanπxlntanπxx→0xx→∞xx→0x→1241πxsinf(x)g(x)lntan譬如limf(x)=0，那么lim=1。又如limg(x)=0，那么lim[1+g(x)]=e。4x→x0x→x0f(x)x→x0x→x0=limπzx→1πx例4求lim(1-z)tancot2z→12ππcotπx·sec2πx解：令(1-z)=x，z→1，则x→04442=lim2xπzπx→1π(-csc2πx)1-z=，=-x22π22πzsin2πx∴lim(1-z)tan2z→12=-limx→1πxπx=lim2xtanπ

7、π-xπ2sin4·cos4x→0π2sin2πx2=limx·cotx2πxπx→0=-lim=-limsin=-1x→1πxx→122x2sin=lim=2πx→0tanxππxtanln(1+ax)2例5求lim∴limπtanπxπ=e-1=1（下转第111页）x→0x4x→1e—109—科技信息高校理科研究合GB/T3683-92标准)。先假设L=30d=30×1mm=30mm，选取喷嘴