函数的极限的求解方法.doc

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1、.函数的极限的求解方法摘要：本文介绍了计算函数极限的几种方法，讨论如何运用已掌握的知识方法计算极限．关键词：零因子：初等法：两个重要极限：等价无穷小：等价无穷小替换：函数的连续性：法。引言　　极限思想是许多科学领域的重要思想之一.因为极限的重要性，从而怎样求极限也显得尤其重要.对于一些复杂极限，直接按照极限的定义来求就显得非常困难，不仅计算量大，而且不一定能求出结果.为了解决求极限的问题，有不少学者曾探讨了计算极限的方法.本文也介绍了计算极限的几种方法，并对文献结论进行了推广，讨论如何利用我们已有的知识计算极限

2、，并且以实例来阐述方法中蕴涵的数学思想.函数的极限主要表现在两个方面：一、自变量任意接近于有限值，或讲趋向（于）（记）时，相应的函数值的变化情况.二、当自变量的绝对值无限增大，或讲趋向无穷大（记）时，相应的函数值的变化情况.相关知识点（一）“”形：定义1：如果对（不论它多么小），总，使得对于适合不等式的一切所对应的函数值满足：，就称常数为函数当时的极限，记为，或（当时）注1：“与充分接近”在定义中表现为：，有，即.显然越小，与接近就越好，此与数列极限中的所起的作用是一样的，它也依赖于.一般地，越小，相应地也小一

3、些.2：定义中表示，这说明当时，..有无限与在点（是否有）的定义无关（可以无定义，即使有定义，与值也无关）.3：几何解释：对，作两条平行直线.由定义，对此.当，且时，有.即函数的图形夹在直线之间（可能除外）.换言之：当时，.可见不唯一！例1证明.证明：对，因为所以[此处，即考虑附近的情况，故不妨限制为，即，].因为，要使,只须，即.取（利用图形可解释），当时，有.定理1：（保号性）设，（i）若，则，当时，.（ii）若，必有.注：在(i)中的“”，“”不能改为“”，“”.在(ii)中，若，未必有.定义2：对，，当

4、时，[当时]，有.这时就称为当时的左[右]极限，记为或.[或]...定理2：（充要条件）.（二）“”形：定义3：设当时是有定义的，若对，当时，有，就称为当时的极限，记为或（当时）.注1：设在上有定义，若对，当时，有，就称为当时的极限，记为，或（当）（，或（当））.2：（充要条件）.3：若，就称为的图形的水平渐近线（若或，有类似的渐近线）.例2证明.证明：对，因为，所以要使得，只须，故取，所以当时，有，所以.（三）无穷小与无穷大一、无穷小定义1：对若，使得当时，有成立，就称为当时的无穷小，记为.注1：除上两种之外

5、，还有的情形.2：无穷小不是一个数，而是一个特殊的函数（极限为0），不要将其与非常小的数混淆，因为任一常数不可能任意地小，除非是0函数，由此得：0是唯一可作为无穷小的常数...定理1：当自变量在同一变化过程（或）中时：（i）具有极限的函数等于其极限与一个无穷小之和，即：为的极限为无穷小.（ii）若一函数可表示为一常数与无穷小之和，那么该常数就是其极限.二、无穷大定义2：若对，使得当时，有，就称当时的无穷大，记作:.注1：同理还有时的定义.2：无穷大也不是一个数，不要将其与非常大的数混淆.3：若或，按通常意义将，

6、的极限不存在.定理2：当自变量在同一变化过程中时，（i）若为无穷大，则为无穷小.（ii）若为无穷小，且，则为无穷大.（四）函数极限运算法则由极限定义直接来求极限是不可取的，因此需寻求一些方法来求极限.定理1：有限个无穷小的和仍为无穷小，即设注1：与都表示函数与，而不是常数.2：“”下放没标自变量的变化过程，这说明对及均成立，但须同一过程.定理2：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小，即设有界，.推论1：常数与无穷小的乘积仍为无穷小，即若为常数，...推论2：有限个无穷小的乘积仍为无穷小，设.定理3：若，则存在，且.

7、注：本定理可推广到有限个函数的情形.定理4：若，则存在，且.推论1：（为常数）.推论2：（为正整数）.定理5：设，则.定理6：如果，且，则.推论1：设为一多项式，当.推论2：设均为多项式，且，由定理5，.例3.（利用定理3）例4（因为）.注：若，则不能用推论2来求极限，需采用其它手段.例5求.（消去零因子法）解：当时，分子、分母均趋于0，因为，约去公因子，所以.例6求.解：当..全没有极限，故不能直接用定理3，但当时，，所以.例8证明为的整数部分.证明：先考虑，因为是有界函数，且当时，，所以由定理2.（五）极限

8、存在准则、两个重要极限收敛准则：如果函数满足下列条件：（i）当时，有.（ii）当时，有.那么当时，的极限存在，且等于.两个重要极限：例9.（做替换）例10.（先三角变换）（六）无穷小的比较定义：设与为在同一变化过程中的两个无穷小，..(i)若，就说是比高阶的无穷小，记为；(ii)若，，就说是比低阶的无穷小；(iii)若，，就说是比同阶的无穷小；(iv)若，就说与是等价无穷小，记为.注1