分块矩阵的应用论文设计.doc

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1、分块矩阵的应用引言矩阵作为数学工具之一有其重要的实用价值，它常见于很多学科中，如：线性代数、线性规划、统计分析，以及组合数学等，在实际生活中，很多问题都可以借用矩阵抽象出来进行表述并进行运算，如在各循环赛中常用的赛格表格等，矩阵的概念和性质相对矩阵的运算较容易理解和掌握，对于矩阵的运算和应用，则有很多的问题值得我们去研究，其中当矩阵的行数和列数都相当大时，矩阵的计算和证明中会是很烦琐的过程，因此这时我们得有一个新的矩阵处理工具，来使这些问题得到更好的解释，矩阵分块的思想由此产生.矩阵分块,就是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的.就如矩阵的元素(数)一样,特别是在运算中,把这些小矩阵当作数一样

2、来处理.把矩阵分块运算有许多方便之处.因为在分块之后,矩阵间的相互关系可以看得更清楚,在实际操作中与其他方法相比,一般来说,不仅非常简洁,而且方法也很统一,具有较大的优越性,是在处理级数较高的矩阵时常用的方法.比如，从行列式的性质出发，可以推导出分块矩阵的若干性质，并可以利用这些性质在行列式计算和证明中的应用分块矩阵；也可以借助分块矩阵的初等变换求逆矩阵及矩阵的秩等；再如利用分块矩阵求高阶行列式，如设、都是阶矩阵，其中，并且，则可求得；分块矩阵也可以在求解线性方程组应用.本文将通过对分块矩阵性质的研究，比较系统的总结讨论分块矩阵在计算和证明方面的应用，从而确认分块矩阵为处理很多代数问题带来很大

3、的便利.1分块矩阵的定义及相关运算性质1.1分块矩阵的定义矩阵分块,就是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的.就如矩阵的元素(数)一样,特别是在运算中,把这些小矩阵当作数一样来处理.定义1设是一个矩阵，若用若干横线条将它分成块，再用若干纵线条将它分成块，于是有块的分块矩阵，即，其中表示的是一个矩阵.1.2分块矩阵的相关运算性质1.2.1加法设，用同样的方法对进行分块，，其中，的级数相同，则.1.2.2数乘设是任为任意数，定义分块矩阵与的数乘为1.2.3乘法设分块为，其中是矩阵，是矩阵，定义分块矩阵和的乘积为.、1.2.4转置设分块为，定义分块矩阵的转置为1.2.5分块矩阵的初等变换分块矩阵的下

4、列三种变换称为初等行变换：(1)对调的两行(用表示对调、两行)；(2)用一个可逆阵左乘的某一行的所有子矩阵(用表示用左乘第行)；(3)将的某一行的所有子矩阵左乘一个矩阵再加到另一行的对应子矩阵上去(表示将第行左乘再加到第行).将上述定义中的“行”换成“列”,“左乘”换成“右乘”,即得分块矩阵的初等列变换的定义,分块矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换.2分块矩阵的应用2.1用分块矩阵解决行列式的问题利用矩阵分块的方法求行列式的值是行列式求值的常用方法之一,但通常所用的《高等代数》教材中对能够用矩阵分块法求值的行列式要求较为严格,多数为形式较特殊的行列式.下面给出了一个应用围较为广泛的行列

5、式的分块矩阵求值方法.引理2.1([3])若为阶方阵，为阶方阵，为矩阵,则有在上述引理中,要求子块当中有一个为零矩阵,更一般的有如下的结论.定理2.2([3])若阶方阵可分为其中为阶方阵,为矩阵,为矩阵,为阶方阵,则有（1）当为可逆矩时；（2）当为可逆矩阵时.在进行行列式的求值运算时,若能找到符合本定理条件要求的矩阵分块方法,就可应用定理的结论进行行列式的计算,现举例说明如下：例2.3计算行列式其中.解设，，则为可逆矩阵，由定理1的结论（2）知，将及代入得.例2.4矩阵，求行列式的值.解：行列式的主对角线元素为，其余元素为，因此：（1）当时，由行列式的性质知=0；（2）当时，从第一行开始，将行

6、列式的前行减去后行得，令由定理2.2可知，而，计算结果得.若定理中的矩阵和均为可逆矩阵时，定理的两个结论均成立，可以利用公式进行转换求行列式的值，举例说明如下.推论2.5若均为阶方阵，且可逆，，则.例2.6计算行列式.解对T进行分块，其中显然可逆，且，所以，而，所以，.定理2.7若均为阶方阵，则..例2.8计算行列式.解对矩阵进行分块，其中由于，所以.2.2分块矩阵在解线性方程组中的应用例2.9设个未知数个方程的线性方程组为（1）记,（其中表示矩阵的转置）,,则方程（1）的矩阵形式为.把方程（1）的矩阵形式改写成如下分块矩阵的形式，其中，，，，，，，，，，方程组（1）有解时，我们解方程组（1）

7、时总是把（1）化成简单的同解方程组，从而求出其解.定理2.10.设方程组（1）有解且，则方程组与同解.例2.11．已知方程组（2）求此方程组的解并证明此方程组和方程组（3）同解.解：令，，其中，，，，，所以此方程组的齐次线性方程组的解为，又是方程组的一个特解，所以此方程组的解为，由上可知并且，所以由定理3可证方程组（2）和（3）同解.2.3分块矩阵在相似问题中的应用定理2.12.如果方阵，方阵，则