例谈如何巧解影子问题.doc

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1、例谈如何巧解影子问题咸安区横沟中学陈萍影子问题是九年级数学中一个常见的数学问题，由于贴近生活，因此常常被命题者青睐，以考查学生应用数学知识解决实际问题的能力。解决这类问题的关键是如何将实际问题抽象为数学模型，基本思路是建构相似三角形的数学模型，通过已学的相似三角形的知识来解决，但同是用相似三角形的性质解决这类问题，由于思维定势的限制，造成解题角度和所选用的解题知识点有很大区别，从而出现传统解法和创新解法两种模式。当然，“艺高人胆大”，学生只有拥有扎实的数学能力，才能敢于创新，才有能力创新。类型一：由灯求影例1、如图：路灯P距离地面8米，P身高1.6米的小丽从距离路灯的底部（

2、点0）20米的A处,沿AO所在的直线CD行走14米到达B时，人影长度怎样改变？改变了多少?OBNAM传统解法（略解）：依题意得：CB//OP,∴△BCN∽△OPN,∴CB:OP＝NB:NO,∴1.6:8＝NB:（NB＋6）,解之得NB＝1.5米，同理可得1.6：8＝AM:（AM＋20）,解之得AM＝5米，∴影长变短了5－1.5＝3.5（米）、评：这种解法只用了相似三角形最基本的性质，得用两次三角形相似，略显麻烦。创新解法（略解）：设直线CD交PO于E，则P易得矩形OBCE和矩形ABCD，PE、PO成了△PCDECD和△PNM的对应高，利用相似三角形对应高的比OBNAM等于相

3、似比得CD:NM＝PE:PO,则14:NM＝（8－1.6）:8∴NM＝17.5米，NM－AB＝17.5－14＝3.5米，则影子变短了3.5米.评：创新解法用的是相似三角形对应高的比等于相似比，只用了一次三角形相似显得很方便。类型二：由影求灯例2、如图：花丛中有一路灯杆PO,灯光下，小丽在B点处的影长PBN＝3米，沿OB方向行走到达A点，BA＝5米，这时小丽的影长AM＝5米，ECD如果小丽的身高为1.7米，求路灯杆PO的高度。OBNAM传统解法（略解）：依题意得：CB//OP,∴△BCN∽△OPN,∴CB:OP＝BN:ON①,同理，得DA:PO＝AM:OM②,显然CB＝DA,

4、由①、②得BN:ON＝AM:OM,设OB＝x米，则有3：（3＋x）＝5:（10＋x）,解之得x＝7.5米，代入①式，得PO＝5.95米3评：这种解法仍然只用了相似三角形最基本的性质，又得用两次三角形相似，还要以中间比为桥梁，有些让人眼花缭乱。创新解法（略解）：同例1做法一样，设直线CD交PO于E，则易得矩形OBCE和矩形ABCD，PE、PO成了△PCD和△PNM的对应高，利用相似三角形对应高的比等于相似比得CD:NM＝PE:POP∴5:（5＋5－3）＝（PO－1.7）:POECD∴PO＝5.95米OBNAM评：这种创新解法利用相似三角形对应高的比等于相似比，非常简便快捷，既

5、节约时间，又提高了准确率。类型二：双灯双影问题例1、如图：小丽晚上在路灯下散步，已知小丽的身高AB＝h,灯柱的高OP＝OPˊ＝L,两灯柱之间的距离OOˊ＝m，（1）、若小丽距灯柱OP的水平PPˊ距离OA＝a,求她影子AC的长。（2）若小丽在两路灯之间行走，B则她前后的影子的长度之和（DA＋AC）是否为定值？请说明理由。ODACOˊ传统解法（略解）：（1）、依题意得：AB//OP,∴△ABC∽△OPC,∴AC:OC＝AB:OP,∵OP＝L,AB＝h,OA＝a,∴AC:（a＋AC）＝h:L解之得AC＝ah/L（2）、∵AB//OP,∴△ABC∽△OPC,∴AB:OP＝AC:OC

6、＝h:L,∴AC:（OC－AC）＝h:（L－h）,即AC:OA＝h:（L－h）,∴AC＝h/（L－h）·OA同理可得DA＝h/（L－h）·OˊA∴DA＋AC＝h/（L－h）·（OA＋OˊA）＝hm/（L－m）是定值。评：这种做法还是只用了相似三角形最基本的性质，做第（1）问尚可，做第（2）问又得用两次三角形相似，显得很笨拙，若将题目中的两问合并形成一个题目，则更加捉襟见肘，但用创新做法就简单多了。如：如图：小丽晚上在路灯下散步,PEPˊ已知小丽的身高AB＝h,灯柱的高OP＝OPˊ＝L,两灯柱之间的距离OOˊ＝m，当她在两路灯之间行走，则她前后的B影子的长度之和（DA＋AC）

7、是否为定值？请说明理由。ODACOˊ创新解法（略解）：连结PPˊ,设AB的延长线交PPˊ于E,易得矩形OOˊPˊP,则AB、BE成了△BCD和△BPPˊ的对应高，由△BCD∽△BPPˊ,∴CD:PPˊ＝AB:BE,∴CD:m＝h:（L－h）,则CD＝hm/（L－m）即DA＋AC＝hm/（L－m）是定值。评：创新解法还是只用了一次相似三角形对应高的比等于相似比，但这种做法显得多么灵活，一举解决问题，而不用分别求出DA和AC，简直是一种享受。由此可见，创新其实也只是换个角度思考问题，也就是一种求异思维，它必须要有过硬的