数学物理方程-第4章-2013.ppt

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1、数学物理方程西北工业大学2013年3月许和勇第四章二阶线性偏微分方程的分类与总结§4-1二阶线性方程的分类本章研究一般的二阶线性偏微分方程，并对前三章讨论的三类方程的性质进行比较深入的总结和讨论两个自变量的二阶线性方程举例一维弦振动方程（第一章）一维热传导方程（第二章）二维拉普拉斯方程（第三章），，一般的二阶线性方程总可以写成如下形式：(1.1)通过适当的自变量变换与未知函数的线性变换，对其进行简化，并分类。方程（A）方程（B），形式简单可逆的自变量变换解（A）解（B）可逆的自变量变换对式（1.1），作自变量的变换可以将式（1.1）化成下述关于自变量的偏微分方程(1.2)(1.4)

2、由于(1.5)(1.6)所以方程(1.4)中系数(1.7)如果能选择到方程的两个函数无关的解，取，方程(1.4)中的系数就变为零，这样(1.4)式就大为简化了。，方程(1.7)可以化为下述常微分方程在(x,y)平面上的积分曲线问题推导:设是方程(1.8)的一族积分曲线，则(1.8)是(1.7)的一个解。方程(1.8)的积分曲线为方程(1.1)的特征线，方程(1.8)亦称特征方程。(1.9)三种情形：(1)(1.10)双曲型方程标准形式(1.11)(2)抛物型方程标准形式(1.13)，则(1.7)式变为特征曲线只有一族选取，则有，又由于，即，所以所以任取一函数，使和函数无关，则(1.

3、1)式可化为(3)椭圆型方程标准形式(1.17),此时不存在实的特征线,(1.8)式的通积分只能为复函数。做变换则(1.1)式可化为假设是(1.9)式的一个通积分，则满足（1.7）式(1.15)即满足方程（1.7）式，将实部和虚部分开，得到,代入得二次型的代数性质，决定标准型类型，或者说，由l,m平面上的二次曲线的性质决定。(1)在某点(x0,y0)满足，方程在点(x0,y0)为双曲型；(2)在某点(x0,y0)满足，方程在点(x0,y0)为抛物型；(3)在某点(x0,y0)满足，方程在点(x0,y0)为椭圆型；，，，例1将弦振动方程化成标准形式(1.11)。解：由于，所以方程为双

4、曲型。特征方程为，解得取变换类似地，代入原方程，得标准形式为例2将特里科米方程化成标准形式。解：(1)当y>0时，方程为椭圆型。特征方程为，解得取变换代入原方程，得，则有化简，并将代入，得标准形式(2)当y<0时，方程为双曲型。特征方程为，解得取变换代入原方程，得化简,并将代入，得标准形式