Kernel Regression for Image Processing and Reconstruction核回归-图像处理与重构 演示文稿.ppt

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1、KernelRegressionforImageProcessingandReconstruction1.Introduction（介绍）1.1.背景；操作简单和成本效率高导致数字图像系统越来越受欢迎，但是传统的电影摄像机的低分辨率仍然是一大缺陷。由于商业数字相机使用的CCD像素（CCD是一种半导体装置，能够把光学影像转化为数字信号。CCD上植入的微小光敏物质称作像素）的限制，我们在数字图像中经常看到抽样不足效应，使用更密集的CCD阵列不但会增加成本费用，而且还会使得图像中的噪声更多。鉴于此，这些年来

2、，人们开始使用图像处理的方法来提高数字图像的质量。本文主要研究核回归方法，来试图恢复由于成像系统的限制而被破坏了的无躁的高频信息，还有退化过程，比如说压缩。1.2.本文的主要内容；（1）提出经典的核回归方法，并说明该方法是降噪和插值的一个有效工具，且建立起与其他的一些方法之间的关系；（2）将经典核回归推广到自适应的核回归，并给出它在降噪和插值应用中的非常好的结果；1.3.本文的结构;2.Classicalkernelregression（经典核回归）2.1.KernelRegressionin1-D（一

3、维的情形）假设1维信号的数学模型如下其中表示回归函数（未知的），表示在第个采样点处的采样值，表示独立同分布零均值噪声。核回归的目标是通过观察数据估计未知回归函数（对于这个问题，大致有两种估计方法:一种是参数估计;经典的线性或非线性回归就属于这种方法；另一种是非参数估计:我们知道，并非所有的关系都能用一个有限的数学式子来表达:在绝大多数情况下，;即使引入大量的参数，仍不能减少估计的误差，这时我们就引入了非参数估计，核回归即是一种非参数估计），同时，该过程也可以看作是对目标函数进行去噪的过程。在的形式未确定

4、的情况下，假设是N阶局部平滑的，为了估计函数在给定数据下任意点处的值，我们可以将函数在这一点局部展开。假设在采样点的附近，则有N阶泰勒展开式:上式说明如果把泰勒级数作为回归函数的局部估计，则估计参数就是基于数据的回归函数的估计，参数给出了回归函数N阶微分的局部信息。因为这个方法是基于局部逼近的，所以一个符合逻辑的思想就是：给定点附近的采样点权重比较远采样点权重要高。为了体现这种思想，我们通过下面的优化问题来计算：其中是核函数，它以估计点为中心，用来控制各个采样点的权重：距离x越近的点，权值越大。是平滑参

5、数（标量）,用来控制这个核的尺度。核函数形式不确定，只需满足关于y轴对称并在零点取最大值。一般的情况下，我们只考虑情形，特别的选时，我们得到的估计子为，其形式为：阶数N和平滑h度同时影响估计的偏差和方差，一般的，N越小（得到的图像更光滑），偏差越大，方差越小，h越小，偏差越小，方差越大。2.2.RelatedRegressionMethods（相关的回归方法）B-splineregression2.3.KernelRegressionFormulationin2-D（二维的情形）同一维的情况相似，2维信

6、号的数学模型如下：此时是维的向量，对应的泰勒级数为：其中为梯度矩阵，为黑塞矩阵定义为一个对称矩阵的“下三角”部分的半向量化算子，例如则上式简化为：对比两式，即是我们所要求的像素值，向量和分别为：对应的，从下面的最优化问题中求得：其中此时是二维的核函数，是阶的平滑矩阵。我们可以把（7）式写成矩阵的形式，即下面的赋权最小二乘优化问题：其中不论阶数为多少，我们的目的是为了估计出像素值，所以只需估计出参数即可，故最小二乘估计简化为：（8）下面我们给出（8）式的一个更简洁更直观的等价形式：从（8）式可知是一个阶分

7、块矩阵：其中是矩阵（一个矩阵块），我们计算到时上述矩阵的各个元素值，有利用上述简化符号，（8）式就可以表示成局部线性滤波过程：其中同时可以计算出（N=2），如下：同样利用简化符号，则其中4.SmoothingMatrixSelection（平滑矩阵的选择）从（7）式中回归核的形状的定义可以看出，估计子的性能是依赖于平滑矩阵的，在数据是二维的情形下，是阶的矩阵，它能扩充回归核的足迹（footprint）以包含足够的样本，如图7所示：交叉验证法是一个估计局部平滑矩阵的好方法，但是这个方法计算起来非常困难，我

8、们可以采用一个简单，易于计算的模型：其中是一个标量，用来衡量样本的局部密度（标准的情况下，设），是全局平滑参数。上述即为经典局部线性核回归算法。经典的回归算法在图像平滑区域可以获得近似最佳的滤波效果，但对图像边缘附近的像素估计时，容易造成边缘模糊。这是由于在图像边缘附近存在很多跳变点，因此核窗口中包含不连续的样本点，使得核估计的结果存在较大偏差。因此，有必要对经典的核回归算法进行改进，以达到更好的去噪效果。3.Data-adaptedker