等比数列的概念及通项公式（高中数学人教A版必修五）.ppt

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1、2．4等比数列2．4.1等比数列的概念及通项公式学习目标1.掌握等比数列的定义，理解等比中项的概念．2．掌握等比数列的通项公式及推导过程．3．能应用等比数列的定义及通项公式解决问题．问题请同学们观察下列数列，看有何不同特点？①②1，2，4，8，16，32，…0，5，10，15，20，…通项公式数学式子表示定义等比数列等差数列名称如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，用d表示an+1-an=dan=a1+（n-1）d如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做

2、等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，用q表示an=a1·qn-1（q≠0）an+1an=q(q≠0)1.等差、等比数列对照表(1)等比数列通项公式推导：若已知首项为a1，公比为q，如何求an？解1：等比数列通项公式：解2：叠乘法(1)等比数列的通项公式a2=a1qa3=a2q=a1q2a4=a3q=a1q3…an=a1qn-1①.不完全归纳法a2/a1=qa3/a2=qa4/a3=q…an/an-1=q这n-1个式子相乘得an/a1=qn-1所以an=a1qn-1②.叠乘法（累乘法）其中，a1与q均不为0。由于当n=1时上面等式两边均为a1，即等式也成立，说明上

3、面公式当n∈N*时都成立，因此它就是等比数列｛an｝的通项公式。(1)等比数列的通项公式通项公式一:3、在等比数列{an}的通项公式中a1、q、an、n任知3个，可求其余1个.1、不要错误地写成2、每一项都可以用a1和q表示，等比数列由首项和公比确定4、图像特点：当q>0且q≠1，an是指数函数2.等差数列与等比数列的类比等差数列等比数列定义首项、公差（公比）取值有无限制通项公式主要性质(2)若m+n=s+r(m,n,s,r∈N*)则am·an=as·ar.(2)若m+n=s+r(m,n,s,r∈N*)则am+an=as+ar.2an=an-1+an+1.(等差中

4、项）(3)an2=an-1·an+1.（等比中项）(1)在已知a1和q的前提下，利用公式an＝a1qn－1，可求出等比数列中的任意一项．(2)在通项公式中知道a1、q、n、an四个量中的任意三个，可求得另一个量．等比数列的通项公式知识点一A．an＝a3qn－2B．an＝a3qn－1C．an＝a3qn－3D．an＝a3qn－4解析：∵a3qn－3＝a1·q2·qn－3＝aqn－1＝an.答案：C预习测评求下列各等比数列的通项公式：(1)a1＝3，a3＝27；(2)a1＝1，an＋1＝2an(n≥1)．【思路点拨】关键是确定等比数列的首项和公比．例1【解】(1)a3＝

5、a1q2，∴q2＝9，∴q＝±3.∴an＝a1qn－1＝3×3n－1＝3n或an＝a1qn－1＝3×(－3)n－1＝(－1)n－13n.∴an＝3n或(－1)n－13n.例1.一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项.解：用｛an｝表示题中公比为q的等比数列，由已知条件，有解得因此，答：这个数列的第1项与第2项分别是方程思想如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.思考：1.任意两个数都有等比中项吗？2.若两个数有等比中项，则该等比中项唯一吗？3.当a=b时，G=只有同号的两数，才存在等比中项不唯一

6、，等比中项有两个值，即4.若G2＝ab，则a，G，b一定成等比数列吗？不一定，若a＝G＝b＝0时，不满足．等比中项：知识点二数列：2，4，8，16，32，64，…8是4和16的等比中项，2和32的等比中项；16是8和32的等比中项，4和64的等比中项.等比数列：a1，a2，…an-1,an,an+1,…an是an-1与an+1的等比中项在一个等比数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它前一项与后一项的等比中项.例3【思路点拨】利用等比中项满足G2＝ab.【例1、已知三个数成等比数列，且其积为512，若第一个数与第三个数各减2，则成等差数列，求这三数。

7、解：设这三数为所以这三数为4,8,16或16，8，4.说明:(1)若三数成等比数列,且积已知,则可设这三数为(2)若四数成等比数列,且积已知,则可设这四数为对称设法等比数列的应用设法知识点三1．有四个数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37，中间两数之和为36，求这四个数．等比数列的判定与证明知识点四方法点评：等比数列的判断方法主要有以下几种：已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1.(1)求证：数列{an＋1}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．【思路点拨】将递推公式变形，然后利用等比数列的定义判定．2(2)由(1)知，{

8、an＋1}