留数的计算方法.ppt

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1、第二节留数一、留数的引入二、利用留数求积分三、在无穷远点的留数四、典型例题五、小结与思考一、留数的引入设为的一个孤立奇点;内的洛朗级数:在.的某去心邻域C:邻域内包含的任一条正向简单闭曲线20(高阶导数公式)0(柯西-古萨基本定理)3定义记作的一个孤立奇点,则沿内包含的任意一条简单闭曲线C的积分的值除后所得的数称为以如果二、利用留数求积分说明:留数定理将沿封闭曲线C积分转化为求被积函数在C内各孤立奇点处的留数.1.留数定理在区域D内除有限个孤外处处解析,C是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线,那末立奇点函数5证[证毕]两边同时除以且...

2、如图62.留数的计算方法(1)如果为的可去奇点,如果为的一级极点,那末规则1成洛朗级数求(2)如果为的本性奇点,(3)如果为的极点,则有如下计算规则展开则需将7如果为的级极点,规则2证那末8+(含有正幂的项)两边求阶导数,[证毕]得9规则3如果设及在都解析，证的一级零点,为的一级极点.为那末为的一级极点,且有10解析且在因此其中在解析且为的一级极点,11四、典型例题例1求在的留数.解12例2求在的留数.分析是的三级零点由规则3得计算较麻烦.13如果利用洛朗展开式求较方便:解14说明:如为m级极点，当m较大而导数又难以计算时,可直接展开洛朗

3、级数求来计算留数.2.在应用规则2时,取得比实际的级数高.级数高反而使计算方便.1.在实际计算中应灵活运用计算规则.为了计算方便一般不要将m但有时把m取得比实际的如上例取15例4计算积分C为正向圆周:解为一级极点,为二级极点,1617被积函数有四个一级极点都在圆周的内部,所以由规则31819五、小结与思考本节我们学习了留数的概念、计算以及留数定理.应重点掌握计算留数的一般方法,尤其是极点处留数的求法,并会应用留数定理计算闭路复积分.20思考题21思考题答案放映结束，按Esc退出.22